Um dado pentágono consiste em um triângulo isósceles no topo de um retângulo. Para um perímetro P fixo, determine as dimensões do retângulo e a altura do triângulo que conduzem à área máxima.

Passo 1

O enunciado descreve um polígono de cinco lados que consiste num retângulo de largura ,w e altura ,h, sobre o qual está colocado um triângulo isósceles de base ,w e altura ,t. O perímetro total é fixo em ,P. Precisamos maximizar a área
A = underbracew,hretângulo ;+;underbracetfrac12,w,ttriângulo ââ
sujeito à restrição
P = w ;+; 2h ;+; 2,s,
onde s é a aresta inclinada do triângulo, dada por
s = raizl(tfrac w2r)^2 + t^2

Passo 2

Da restrição P = w + 2h + 2s isolamos h:
2h = P - w - 2s Longrightarrow h = P - w - 2,s2
Substituindo em A obtemos, em função apenas de w e t,
A(w,t) = w,h + tfrac12,w,t = w;P - w - 2s2 ;+;tfrac12,w,t

Passo 3

É conveniente trabalhar com
f(w,t) = 2,A(w,t) = w,(P - w - 2s) ;+; w,t
e depois dividir por 2. Lembrando
s = raizw^24 + t^2,
vamos impor as condições de ótimo pela anulação das derivadas parciais partial f/partial w = 0 e partial f/partial t = 0.

Passo 4

Cálculo de partial f/partial t. Só há dependência de t em -2w,s + w,t, e
partial spartial t = ts
Logo
partial fpartial t = -2w,ts + w = wl(1 - 2,tsr) ;overset!=;0 Longrightarrow 2ts = 1 ;Longrightarrow; s = 2t

Passo 5

Da relação s^2 = tfracw^24 + t^2 e s=2t segue
(2t)^2 = w^24 + t^2 Longrightarrow 4t^2 = w^24 + t^2 Longrightarrow w^2 = 12,t^2 Longrightarrow w = 2raiz3,t

Passo 6

Agora anulamos partial f/partial w. Depois de algum cálculo encontra-se a condição simplificada
P - 2w - 6t = 0 Longrightarrow 2w + 6t = P Longrightarrow w + 3t = P2
Substituindo w = 2raiz3,t obtém-se
2raiz3,t + 3t = P2 ;Longrightarrow; t,(2raiz3 + 3) = P2 ;Longrightarrow; t = P2(2raiz3 + 3) = P,(2raiz3 - 3)6

Passo 7

Com t achado, determinamos
w = 2raiz3,t = P,(2 - raiz3),
e finalmente a altura do retângulo vem de
h = P - w - 2s2 = P - P(2-raiz3) - 4t2 = P,(3 - raiz3)6

Resposta

Largura do retângulo:
w = P,(2 - raiz3),
altura do retângulo:
h = P,(3 - raiz3)6,
altura do triângulo:
t = P,(2raiz3 - 3)6

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