Suponha que as equações
e
não têm raízes comuns. Mostre que todos os pontos críticos de
devem ser pontos de sela.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, na superfície definida por
, todo ponto crítico é ponto de sela, sob a hipótese de que as equações
e
não têm raízes em comum. O conteúdo envolve cálculo de pontos críticos (gradiente nulo) e classificação via matriz Hessiana (determinante negativo indica sela).
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero. Temos
e
.
Como em qualquer ponto crítico e, por hipótese, isso nunca ocorre simultaneamente com
, deduzimos
. Da segunda equação segue
e
Como
Portanto, todos os pontos críticos são da forma
Passo 3
Para classificar esses pontos, montamos a matriz Hessiana de
. As segundas derivadas são
Em bloco:
O determinante vale
já que
. Um determinante negativo implica que a Hessiana tem autovalores de sinais opostos, ou seja, cada ponto crítico é ponto de sela.
Resposta
Todos os pontos críticos de
são pontos de sela.