Suponha que as equações f(x)=0 e f^prime(x)=0 não têm raízes comuns. Mostre que todos os pontos críticos de z=y f(x)+g(x) devem ser pontos de sela.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na superfície definida por z=y,f(x)+g(x), todo ponto crítico é ponto de sela, sob a hipótese de que as equações f(x)=0 e f'(x)=0 não têm raízes em comum. O conteúdo envolve cálculo de pontos críticos (gradiente nulo) e classificação via matriz Hessiana (determinante negativo indica sela).

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero. Temos
partial zpartial y=f(x)=0
e
partial zpartial x=y,f'(x)+g'(x)=0.
Como f(x)=0 em qualquer ponto crítico e, por hipótese, isso nunca ocorre simultaneamente com f'(x)=0, deduzimos f'(x)neq0. Da segunda equação segue
y=-g'(x)f'(x)
Portanto, todos os pontos críticos são da forma
l(x,,-tfracg'(x)f'(x)r) com f(x)=0

Passo 3

Para classificar esses pontos, montamos a matriz Hessiana de z. As segundas derivadas são
zxx=y,f''(x)+g''(x), zxy=f'(x), zyy=0
Em bloco:
H(x,y)= y,f''(x)+g''(x) & f'(x) f'(x) & 0
O determinante vale
det H = l(y,f''(x)+g''(x)r)cdot 0 - l(f'(x)r)^2 = -l(f'(x)r)^2 < 0,
já que f'(x)neq0. Um determinante negativo implica que a Hessiana tem autovalores de sinais opostos, ou seja, cada ponto crítico é ponto de sela.

Resposta

Todos os pontos críticos de z=y,f(x)+g(x) são pontos de sela.

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