Nos Problemas 1 a 8 determine os pontos críticos e classifique-os por meio do teste da segunda derivada.
.
Passo 1
O enunciado pede os pontos críticos de
e a classificação de cada um pelo teste da segunda derivada. Para isso vamos (i) encontrar os pontos onde o gradiente de
é nulo e (ii) usar as segundas derivadas para decidir se cada ponto é mínimo, máximo ou ponto de sela.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais e igualemos a zero:
O sistema
é
Passo 3
Simplificando, obtemos
Substituindo
na segunda equação dá
Logo
ou
. Correspondem os pontos
Passo 4
Agora as segundas derivadas e o determinante da Hessiana:
Avaliando em cada ponto:
- Em
: , logo ponto de sela. - Em
: e , logo máximo local.
Resposta
Pontos críticos e classificação:
é ponto de sela.
é máximo local.