Nos Problemas 1 a 8 determine os pontos críticos e classifique-os por meio do teste da segunda derivada.
z=x^3+y^3+3 x y+5.

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de z = x^3 + y^3 + 3xy + 5 e a classificação de cada um pelo teste da segunda derivada. Para isso vamos (i) encontrar os pontos onde o gradiente de z é nulo e (ii) usar as segundas derivadas para decidir se cada ponto é mínimo, máximo ou ponto de sela.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais e igualemos a zero:
fx = partial zpartial x = 3x^2 + 3y, fy = partial zpartial y = 3y^2 + 3x
O sistema nabla z=0 é
3x^2 + 3y = 0, 3y^2 + 3x = 0

Passo 3

Simplificando, obtemos
y = -x^2, x = -y^2
Substituindo y=-x^2 na segunda equação dá
x = -(-x^2)^2 = -x^4 ;Longrightarrow; x + x^4 = 0 ;Longrightarrow; x(1 + x^3)=0
Logo x=0 ou x^3=-1Rightarrow x=-1. Correspondem os pontos
(0,0) e (-1,-1)

Passo 4

Agora as segundas derivadas e o determinante da Hessiana:
fxx = 6x, fyy = 6y, fxy=3,
D(x,y) = fxxfyy - (fxy)^2 = 36,xy - 9
Avaliando em cada ponto:
  • Em (0,0): D = -9 < 0, logo ponto de sela.
  • Em (-1,-1): D = 36cdot(-1)(-1) - 9 = 27>0 e fxx(-1,-1)=6cdot(-1)=-6<0, logo máximo local.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(0,0) é ponto de sela.
(-1,-1) é máximo local.

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