Dados dois pontos
e
distintos e um ponto
fora da reta
, como se obtêm, no plano dos pontos
e
, duas retas equidistantes de
e
passando por P ?
Passo 1
Resumo do enunciado: temos pontos distintos
e
e um ponto
que não está sobre a reta
. Queremos traçar, no mesmo plano, as duas retas que passam por
e cujas distâncias perpendiculares de
e de
até cada uma dessas retas sejam iguais. O conteúdo principal é o conceito de distância de um ponto a uma reta e locus de retas que igualam essas distâncias.
Passo 2
Mostramos que a reta
paralela a
e passando por
satisfaz a condição. De fato, se
, então
e
estão sobre uma reta paralela a
, logo a distância de
a
é igual à distância de
a
(ambas são a distância entre as retas
e
).
Agora mostramos que a reta que passa por
e pelo ponto médio
de
também funciona. Seja
o ponto médio de
. Qualquer reta que passe por
faz com que os pés das perpendiculares de
e de
sejam simétricos em relação a
; isso implica que essas distâncias são iguais. Em coordenadas, fica evidente que essa reta proporciona
Agora mostramos que a reta
Passo 3
Construção prática do ponto médio
de
:
- Com centro em
e raio qualquer maior que , trace um arco. - Com o mesmo raio e centro em
, trace outro arco de modo que eles se cortem em dois pontos, digamos e . - Trace a reta
; ela é a mediatriz de e corta exatamente em , o ponto médio.
Construção das duas retas:
- Reta
: usando régua e compasso, trace a paralela a que passa por . - Reta
: una a com a régua.
Resposta
As duas retas são:
- A reta paralela a
que passa por . - A reta que une
ao ponto médio de .