Dados dois pontos A e B distintos e um ponto P fora da reta over<=ftrightarrowA B, como se obtêm, no plano dos pontos A, B e P, duas retas equidistantes de A e B passando por P ?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos pontos distintos A e B e um ponto P que não está sobre a reta over<=ftrightarrowAB. Queremos traçar, no mesmo plano, as duas retas que passam por P e cujas distâncias perpendiculares de A e de B até cada uma dessas retas sejam iguais. O conteúdo principal é o conceito de distância de um ponto a uma reta e locus de retas que igualam essas distâncias.

Passo 2

Mostramos que a reta r1 paralela a AB e passando por P satisfaz a condição. De fato, se r1paral<=l AB, então A e B estão sobre uma reta paralela a r1, logo a distância de A a r1 é igual à distância de B a r1 (ambas são a distância entre as retas AB e r1).
Agora mostramos que a reta r2 que passa por P e pelo ponto médio M de AB também funciona. Seja M o ponto médio de AB. Qualquer reta que passe por M faz com que os pés das perpendiculares de A e de B sejam simétricos em relação a M; isso implica que essas distâncias são iguais. Em coordenadas, fica evidente que essa reta proporciona
|,dist(A,r2),||AM| ;=;|,dist(B,r2),||BM| e como AM=BM, segue dist(A,r2)=dist(B,r2)

Passo 3

Construção prática do ponto médio M de AB:
  1. Com centro em A e raio qualquer maior que tfrac12AB, trace um arco.
  2. Com o mesmo raio e centro em B, trace outro arco de modo que eles se cortem em dois pontos, digamos E e F.
  3. Trace a reta EF; ela é a mediatriz de AB e corta AB exatamente em M, o ponto médio.
    Construção das duas retas:
  • Reta r1: usando régua e compasso, trace a paralela a AB que passa por P.
  • Reta r2: una P a M com a régua.

Resposta

As duas retas são:
  1. A reta paralela a AB que passa por P.
  2. A reta que une P ao ponto médio M de AB.

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