As bissetrizes internas dos ângulos B e C de um triângulo A B C formam um ângulo de 116^circ. Determine a medida do menor ângulo formado pelas alturas relativas aos lados AB e AC desse triângulo.

Passo 1

O enunciado diz que as bissetrizes internas dos ângulos hat B e hat C se encontram no incentro I e formam um ângulo de 116^circ. Queremos achar o ângulo ang<= A do triângulo ABC e, em seguida, determinar o menor ângulo formado pelas alturas relativas aos lados AB e AC. Para isso vamos usar:
  • A propriedade de que ang<= BIC = 90^circ + tfracang<= A2.
  • A relação entre ângulos de alturas e ângulos de lados.

Passo 2

Pelo fato de I ser o incentro, vale a conhecida relação
ang<= BIC = 90^circ + ang<= A2
Como a questão dá ang<= BIC = 116^circ, igualamos:
116^circ = 90^circ + ang<= A2

Passo 3

Isolando ang<= A obtemos
ang<= A2 = 116^circ - 90^circ = 26^circ Longrightarrow ang<= A = 2cdot26^circ = 52^circ

Passo 4

As alturas relativas a \overline{AC}) são duas retas que, respectivamente, são perpendiculares a esses lados. Se rotacionarmos cada reta que contém e em no mesmo sentido, obtemos as retas das alturas; tal rotação preserva o ângulo entre as retas. Logo, o menor ângulo entre as alturas é igual ao ângulo do triângulo.

Resposta

52^circ

Exercícios de Livros Relacionados