As bissetrizes internas dos ângulos e de um triângulo formam um ângulo de . Determine a medida do menor ângulo formado pelas alturas relativas aos lados e AC desse triângulo.
Passo 1
O enunciado diz que as bissetrizes internas dos ângulos hat B e hat C se encontram no incentro I e formam um ângulo de 116^circ. Queremos achar o ângulo ang<= A do triângulo ABC e, em seguida, determinar o menor ângulo formado pelas alturas relativas aos lados AB e AC. Para isso vamos usar:
A propriedade de que ang<= BIC = 90^circ + tfracang<= A2.
A relação entre ângulos de alturas e ângulos de lados.
Passo 2
Pelo fato de I ser o incentro, vale a conhecida relação
ang<= BIC = 90^circ + ang<= A2
Como a questão dá ang<= BIC = 116^circ, igualamos:
As alturas relativas a \overline{AC}) são duas retas que, respectivamente, são perpendiculares a esses lados. Se rotacionarmos cada reta que contém e em no mesmo sentido, obtemos as retas das alturas; tal rotação preserva o ângulo entre as retas. Logo, o menor ângulo entre as alturas é igual ao ângulo do triângulo.
Resposta
52^circ
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 207