Prove que a altura relativa a qualquer lado de um triângulo é menor que a média aritmética dos lados adjacentes.

Passo 1

Resumindo o enunciado: seja ha um triângulo com lados , , e altura relativa a denotada por . Precisamos provar que
O conteúdo principal é geometria elementar: em um triângulo retângulo cada cateto é menor que a hipotenusa, e usar a propriedade da média aritmética.

Passo 2

Traçando a altura de ha=AD em relação a ha=AD, seja o pé da perpendicular. Nos triângulos retângulos e temos
[
h_a=AD<AC=b.
]
Ou seja, é menor que cada um dos lados adjacentes e .

Passo 3

Como ha e minb,c<=b+c2 , segue
ha
E para quaisquer números positivos vale
Combinando as duas desigualdades chega-se a

Resposta

Demonstração de que a altura relativa a qualquer lado de um triângulo é menor que a média aritmética dos lados adjacentes.

Exercícios de Livros Relacionados