Prove que a altura relativa a qualquer lado de um triângulo é menor que a média aritmética dos lados adjacentes.
Passo 1
Resumindo o enunciado: seja
um triângulo com lados
,
,
e altura relativa a
denotada por
. Precisamos provar que
O conteúdo principal é geometria elementar: em um triângulo retângulo cada cateto é menor que a hipotenusa, e usar a propriedade da média aritmética.
Passo 2
Traçando a altura de
em relação a
, seja
o pé da perpendicular. Nos triângulos retângulos
e
temos
h_a=AD<AC=b.
]
]
Ou seja,
é menor que cada um dos lados adjacentes
e
.
Passo 3
Como
e
, segue
E para quaisquer números positivos
vale
Combinando as duas desigualdades chega-se a
Resposta
Demonstração de que a altura relativa a qualquer lado de um triângulo é menor que a média aritmética dos lados adjacentes.