Prove que a altura relativa a qualquer lado de um triângulo é menor que a média aritmética dos lados adjacentes.

Passo 1

Resumindo o enunciado: seja ABC um triângulo com lados BC=a, CA=b, AB=c e altura relativa a BC denotada por ha. Precisamos provar que
ha<b+c2
O conteúdo principal é geometria elementar: em um triângulo retângulo cada cateto é menor que a hipotenusa, e usar a propriedade da média aritmética.

Passo 2

Traçando a altura de A em relação a BC, seja D o pé da perpendicular. Nos triângulos retângulos ABD e ADC temos
ha=AD<AB=c,
ha=AD<AC=b
Ou seja, ha é menor que cada um dos lados adjacentes b e c.

Passo 3

Como ha< b e ha< c, segue
ha<minb,c
E para quaisquer números positivos b,c vale
minb,c<=b+c2
Combinando as duas desigualdades chega-se a
ha<b+c2

Resposta

Demonstração de que a altura relativa a qualquer lado de um triângulo é menor que a média aritmética dos lados adjacentes.

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