Num triângulo retângulo A B C de hipotenusa B C, trace a bissetriz B S, com S em AC, relativa ao lado AC. Mostre que AS<SC.

Passo 1

O enunciado diz que temos um triângulo retângulo ABC com BC como hipotenusa e ângulo reto em A. Traçamos a bissetriz do ângulo ang<= ABC, que é o segmento BS com S pertencendo a AC. Precisamos mostrar que
AS < SC
Para isso vamos usar o teorema da bissetriz interna e a propriedade da hipotenusa em triângulo retângulo.

Passo 2

No teorema da bissetriz interna de um triângulo, ao traçar de um vértice (aqui B) a bissetriz interna, o ponto S divide o lado oposto ( AC) em segmentos proporcionais aos outros dois lados. Ou seja, em qualquer triângulo ABC, se BS é bissetriz de ang<= ABC, então
ASSC ;=;ABBC

Passo 3

Como o triângulo é retângulo em A, o lado BC é a hipotenusa. Em todo triângulo retângulo a hipotenusa é o maior dos três lados. Logo,
BC > AB

Passo 4

Da desigualdade BC>AB segue que
ABBC < 1
Pelo passo 2 temos tfracASSC = tfracABBC. Portanto
ASSC < 1 Longrightarrow AS < SC

Resposta

AS < SC.

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