Num triângulo retângulo de hipotenusa , trace a bissetriz B S, com S em AC, relativa ao lado AC. Mostre que AS<SC.
Passo 1
O enunciado diz que temos um triângulo retângulo ABC com BC como hipotenusa e ângulo reto em A. Traçamos a bissetriz do ângulo ang<= ABC, que é o segmento BS com S pertencendo a AC. Precisamos mostrar que
AS < SC
Para isso vamos usar o teorema da bissetriz interna e a propriedade da hipotenusa em triângulo retângulo.
Passo 2
No teorema da bissetriz interna de um triângulo, ao traçar de um vértice (aqui B) a bissetriz interna, o ponto S divide o lado oposto (AC) em segmentos proporcionais aos outros dois lados. Ou seja, em qualquer triângulo ABC, se BS é bissetriz de ang<= ABC, então
ASSC ;=;ABBC
Passo 3
Como o triângulo é retângulo em A, o lado BC é a hipotenusa. Em todo triângulo retângulo a hipotenusa é o maior dos três lados. Logo,
BC > AB
Passo 4
Da desigualdade BC>AB segue que
ABBC < 1
Pelo passo 2 temos tfracASSC = tfracABBC. Portanto
ASSC < 1 Longrightarrow AS < SC
Resposta
AS < SC.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 222