1. Dados os pontos A(8,11), B(-4,-5) e C(-6,9), obtenha o circuncentro do triângulo ABC .

Solução

O circuncentro (centro da circunferência circunscrita ao triângulo) é um ponto P equidistante dos três vértices,
P(x, y)l(1) dP A=dP B (2) dP B=dP C

(1) (x-8)^2+(y-11)^2=(x+4)^2+(y+5)^2
x^2-16 x+64+underliney^2-22 y+121=x^2+8 x+16+underliney^2+10 y+25
-24 x-32 y=-144
3 x+4 y=18
(2) (x+4)^2+(y+5)^2=(x+6)^2+(y-9)^2
x^2+8 x+16+underliney^2+10 y+25=x^2+12 x+36+underliney^2+18 y+81
-4 x+28 y=76
x-7 y=-19
De (4), temos x=7 y-19, que substituindo em (3) dá:
3(7 y-19)+4 y=18 Rightarrow 25 y=75 Rightarrow y=3 Rightarrow x=7 cdot 3-19=2
Resposta: P(2,3).

Passo 1

O problema pede o circuncentro do triângulo ABC com vértices A(8,11), B(-4,-5) e C(-6,9).
Para encontrar o circuncentro, que é o ponto equidistante dos três vértices, vamos intersectar duas bissetrizes perpendiculares (ou seja, as bissetrizes dos segmentos AB e BC).

Passo 2

Determinamos a bissetriz perpendicular de AB.
O ponto médio de AB é
MAB=l(8+(-4)2,,11+(-5)2r)=(2,3)
A inclinação de AB é
mAB=11-(-5)8-(-4)=1612=43,
logo a inclinação da reta perpendicular é
m1=-1mAB=-34
A equação da bissetriz perpendicular, passando por MAB(2,3), é
y-3=-34(x-2),
que em forma padrão fica
4(y-3)=-3(x-2)Longrightarrow3x+4y=18

Passo 3

Agora a bissetriz perpendicular de BC.
O ponto médio de BC é
MBC=l(-4+(-6)2,,-5+92r)=(-5,2)
A inclinação de BC é
mBC=9-(-5)-6-(-4)=14-2=-7,
portanto a inclinação perpendicular é
m2=-1mBC=17
A equação da bissetriz, passando por MBC(-5,2), é
y-2=17(x+5),
que em forma padrão fica
7(y-2)=x+5Longrightarrow x-7y=-19

Passo 4

Resolvemos o sistema formado pelas duas bissetrizes:
3x+4y=18, x-7y=-19
Da segunda equação, x=7y-19. Substituindo na primeira:
3(7y-19)+4y=18 Longrightarrow 21y-57+4y=18 Longrightarrow 25y=75 Longrightarrow y=3
Então x=7cdot3-19=21-19=2.

Resposta

O circuncentro do triângulo ABC é ,P(2,3).

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