Os dados seguintes referem-se às taxas de ocupação de um teatro durante os cinquenta dias em que uma peça ficou em cartaz.
30 %-43 %-66 %-57 %-72 %-78 %-38 %-61 %-59 %-53 %
62 %-49 %-82 %-68 %-59 %-45 %-60 %-65 %-73 %-76 %
70 %-64 %-68 %-75 %-80 %-62 %-54 %-71 %-82 %-49 %
55 %-60 %-66 %-72 %-70 %-60 %-58 %-64 %-50 %-83 %
82 %-56 %-79 %-80 %-71 %-88 %-84 %-80 %-70 %-55 %
a) Organize os dados em cinco intervalos de amplitude igual a 10, a partir do menor valor encontrado, e faça uma tabela de frequências correspondente.
b) Utilizando os dados agrupados, encontre a média dos percentuais relacionados acima.
c) Suponha que a peça tenha ficado em cartaz por mais n dias, numa longa temporada de preços populares. Nessa temporada, verificou-se que a ocupação da sala, em cada dia, nunca foi inferior a 80 %, mas não chegou a 90 %. Qual deve ser o menor valor de n para que a média de ocupação de todo o período seja no mínimo de 80%?

Passo 1

O enunciado dá as taxas de ocupação de um teatro em 50 dias e pede:
  • (a) agrupar em cinco intervalos de amplitude 10%, a partir de 30%, e montar a tabela de frequências;
  • (b) calcular a média dos percentuais a partir dos dados agrupados;
  • (c) se a peça ficar mais n dias com ocupação entre 80% e 90%, qual o menor n para que a média total seja ao menos 80%.
Conteúdo: estatística descritiva (tabelas de frequência, média em dados agrupados) e álgebra para equacionar a média móvel.

Passo 2

Determinar o valor mínimo e máximo:
min=30%, max=88%
Para cobrir todo o intervalo com amplitude 10% iniciaremos em 30% e faremos 6 classes de largura 10% (pois 5 não cobrem além de 80%):
[30,40),;[40,50),;[50,60),;[60,70),;[70,80),;[80,90)
Agora achamos a frequência fi e o ponto médio xi de cada classe:
c|c|c Classe (%) & fi & xihline [30,40) & 2 & 34,5 [40,50) & 4 & 44,5 [50,60) & 10 & 54,5 [60,70) & 13 & 64,5 [70,80) & 12 & 74,5 [80,90) & 9 & 84,5hline Total & 50 &

Passo 3

Cálculo da média aproximada usando dados agrupados:
bar x =150sumi=1^6 fi,xi =2cdot34,5 + 4cdot44,5 + 10cdot54,5 + 13cdot64,5 + 12cdot74,5 + 9cdot84,550
Computando cada termo:
2cdot34,5=69, 4cdot44,5=178, 10cdot54,5=545, 13cdot64,5=838,5,
12cdot74,5=894, 9cdot84,5=760,5,
sum fi xi =69+178+545+838,5+894+760,5=3285,
bar x = 328550=65,7%

Passo 4

Suponha que a soma total dos percentuais originais seja S=50cdot65,7=3285. Ao acrescentar n dias com ocupação p, a nova média é
bar xrm total =3285 + n,p50+n
Queremos bar xrm total>=80. Como p<90%, o maior incremento ocorre em pto90%. Tomando p=90% para minimizar n, impomos
3285 + 90,n50+n>=80 ;Longrightarrow; 3285 + 90,n >= 80,(50+n)=4000+80,n ;Longrightarrow; 3285 - 4000 >= (80-90),n
-715 >= -10,n ;Longrightarrow; n >= 71510=71,5 ;Longrightarrow; nmin=72 dias
Como n deve ser inteiro, n=72 é o menor número de dias que, mesmo usando a ocupação máxima hipotética de 90%, garante média total >=80%.

Resposta

(a) Tabela de frequências com classes de amplitude 10%:
c|c|c Classe (%) & Frequência fi & Ponto médio xi hline [30,40) & 2 & 34,5 [40,50) & 4 & 44,5 [50,60) & 10 & 54,5 [60,70) & 13 & 64,5 [70,80) & 12 & 74,5 [80,90) & 9 & 84,5hline Total & 50 & êé
(b) Média aproximada bar x=65,7%.
(c) Considerando novo período com ocupação até 90%, o mínimo n para ter média total >=80% é n=72 dias.

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