Dados sen (u=-\frac{2}{5}, u) no quadrante III, e no quadrante IV, calcule

Passo 1

O enunciado fornece senu = -tfrac25 com u no quadrante III e cos v = tfrac34 com v no quadrante IV. Pede-se sen(u+v). Vamos usar a identidade de soma de ângulos e as relações sin^2+cos^2=1 para determinar as razões faltantes.

Passo 2

Para achar cos u usamos
sin^2u + cos^2u = 1
e sin u = -tfrac25, logo
cos^2u = 1 - l(-tfrac25r)^2 = 1 - tfrac425 = tfrac2125
Como u está no quadrante III, cos u<0. Assim
cos u = -raiz215

Passo 3

Para achar senv usamos
sin^2v + cos^2v = 1
e cos v = tfrac34, logo
sin^2v = 1 - l(tfrac34r)^2 = 1 - tfrac916 = tfrac716
Como v está no quadrante IV, sin v<0. Assim
sin v = -raiz74

Passo 4

Aplicamos a fórmula de soma de senos:
sen(u+v) = senucos v + cos u,senv
Substituindo os valores:
sen(u+v) = l(-tfrac25r)l(tfrac34r) + l(-tfracraiz215r)l(-tfracraiz74r)

Passo 5

Calculemos cada termo:
l(-tfrac25r)l(tfrac34r) = -tfrac620 = -tfrac310, l(-tfracraiz215r)l(-tfracraiz74r) = tfracraiz14720 = tfrac7raiz320
Somando:
sen(u+v) = -tfrac620 + tfrac7raiz320 = 7raiz3 - 620

Resposta

sen(u+v) = 7raiz3 - 620

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