Dados os três lados a, b e c de um triângulo, obtenha sa^prime, sb^prime, sc^prime, deduzindo as fórmulas que fornecem as bissetrizes externas.

Passo 1

O enunciado pede as fórmulas das bissetrizes externas sa^prime,sb^prime,sc^prime de um triângulo de lados a,b,c. Vamos usar trigonometria (fórmulas de meio ângulo) e a relação do bissetor de ângulo externo para obter cada comprimento em função de a,b,c.

Passo 2

Definimos o semiperímetro
s = a+b+c2
e usamos as fórmulas de meio ângulo em termos dos lados:
sinA2 = raiz(s-b)(s-c)bc e cosA2 = raizs(s-a)bc

Passo 3

A bissetriz externa em A é bissetor do ângulo suplementar pi - A. Pela fórmula geral do bissetor,
sa^prime =2,b,c|b-c|,cospi - A2 =2,b,c|b-c|,sinA2

Passo 4

Substituindo sinA2 e simplificando,
sa^prime =2,b,c|b-c|,raiz(s-b)(s-c)bc =2,raizb,c,(s-b),(s-c)|b-c|

Passo 5

Pelo mesmo raciocínio cíclico, trocando ato bto c, obtemos
sb^prime =2,raizc,a,(s-c),(s-a)|c-a| e sc^prime =2,raiza,b,(s-a),(s-b)|a-b|

Resposta

sa^prime=2,raizb,c,(s-b),(s-c)|b-c|, sb^prime=2,raizc,a,(s-c),(s-a)|c-a|, sc^prime=2,raiza,b,(s-a),(s-b)|a-b|,
com s=(a+b+c)/2.

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