(DANTE, 2013) Dividindo p(x)=x^3-4 x^2+7 x-3 por certo polinômio h(x), obtemos o quociente q(x)=x-1 e o resto r(x)=2 x-1. Determine o polinômio h(x).

Passo 1

O enunciado dá o polinômio p(x)=x^3-4x^2+7x-3 e diz que, ao dividir por um certo h(x), obtemos quociente q(x)=x-1 e resto r(x)=2x-1. O conteúdo aqui é o teorema da divisão de polinômios, que afirma:
p(x)=h(x),q(x)+r(x),
com deg r<deg h. Como deg p=3 e deg q=1, segue que deg h=2.

Passo 2

Isolamos h(x) na identidade do teorema da divisão:
h(x),q(x)=p(x)-r(x) Longrightarrow h(x)=p(x)-r(x)q(x)

Passo 3

Calculamos p(x)-r(x):
p(x)-r(x) =l(x^3-4x^2+7x-3r)-l(2x-1r) =x^3-4x^2+5x-2

Passo 4

Dividimos o polinômio x^3 - 4x^2 + 5x - 2 por q(x) = x - 1. Usando divisão sintética em x = 1:
coeficientes 1, -4, 5, -2
r|rrrr 1 & 1 & -4 & 5 & -2 & & 1 & -3 & 2hline & 1 & -3 & 2 & 0
O quociente é x^2 - 3x + 2 e o resto é zero, como esperado.

Passo 5

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h(x)=x^2-3x+2

Resposta

h(x)=x^2-3x+2

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