Você acaba de contrair uma dívida no cheque especial, pagando uma taxa de 8 % ao mês. Supondo que você não terá como saldar nem mesmo parcialmente essa dívida nos próximos meses, determine cm quanto tempo ela dobrará de valor.

Passo 1

O enunciado trata de uma dívida que cresce mensalmente a uma taxa de 8%. Isso é um crescimento exponencial, pois a cada mês o saldo é multiplicado por 1+0,08=1,08. Queremos saber o tempo t (em meses) para que o valor dobre.

Passo 2

Modelamos o saldo após t meses por
A(t)=A0,(1,08)^t,
onde A0 é o valor inicial da dívida. O dobro de A0 ocorre quando
A(t)=2A0

Passo 3

Igualando e simplificando por A0, obtemos
(1,08)^t = 2
Para resolver para t, aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
lnl((1,08)^tr)=ln 2 Longrightarrow t;ln(1,08)=ln 2 Longrightarrow t = ln 2ln(1,08)

Passo 4

Agora basta calcular numericamente:
ln 2 approx 0,693147, ln(1,08)approx 0,076961,
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t approx 0,6931470,076961approx 9,01

Resposta

A dívida dobrará de valor em aproximadamente 9 meses.

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