Decida, em cada caso, se a equação determina ou não
como função de
e, em caso afirmativo, ache uma fórmula para a função
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação
determina
como função de
e, caso afirmativo, obter uma fórmula explícita para
em termos de
. O conteúdo que vamos usar é a resolução de uma equação quadrática em
e o Teorema da Função Implícita para garantir a existência local de cada ramo.
Passo 2
Multiplicamos ambos os lados da equação original por
, lembrando que
:
Passo 3
Reescrevendo em forma padrão de quadrática em
, temos
Passo 4
Aplicamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
logo as duas soluções para
são
Passo 5
Para ver que cada uma dessas expressões define
como função de
localmente, considere
Temos
então, pelo Teorema da Função Implícita, cada ramo
e
é de fato uma função diferenciável de
.
Resposta
As soluções são dois ramos de função implícita: