Decida, em cada caso, se a equação determina ou não y como função de x e, em caso afirmativo, ache uma fórmula para a função
x=y-1y.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
x = y - 1y
determina y como função de x e, caso afirmativo, obter uma fórmula explícita para y em termos de x. O conteúdo que vamos usar é a resolução de uma equação quadrática em y e o Teorema da Função Implícita para garantir a existência local de cada ramo.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados da equação original por y, lembrando que yneq0:
xy ;=; y^2 ;-;1

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão de quadrática em y, temos
y^2 ;-; x,y ;-; 1 ;=; 0

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
De<a = (-x)^2 - 4cdot1cdot(-1) = x^2 + 4 > 0,
logo as duas soluções para y são
y = x pm raizx^2 + 42

Passo 5

Para ver que cada uma dessas expressões define y como função de x localmente, considere
F(x,y) = y - 1y - x
Temos
partial Fpartial y = 1 + 1y^2 neq 0 para todo yneq0,
então, pelo Teorema da Função Implícita, cada ramo y1(x) e y2(x) é de fato uma função diferenciável de x.

Resposta

As soluções são dois ramos de função implícita:
y1(x) = x + raizx^2 + 42, y2(x) = x - raizx^2 + 42

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