DECISÃO SOBRE UMA REFORMA Magda pretende ampliar sua loja de produtos importados, e recebeu duas propostas para a reforma. A primeira custará \mathrm{R} \ 40.000,00 , e a segunda, mais modesta, apenas\mathrm{R} $25.000,00 . Entretanto, ela espera que os melhoramentos introduzidos com a primeira reforma permitam obter uma receita contínua de Rí$ \(10.000,00\)por ano, enquanto a receita obtida com a segunda seria de apenas\(\mathrm{R} \\)8.000,00\( por ano. Qual dos dois planos é mais vantajoso para os próximos três anos se a taxa de juros prevista é de \)5 \% ao ano, capitalizados continuamente?

Passo 1

O enunciado nos dá dois projetos de reforma com custos iniciais de \text{R}\$40.000 e \text{R}\$25.000, que geram receitas contínuas de \text{R}\$10.000/ano e \text{R}\$8.000/ano, respectivamente, durante T=3 anos. A taxa de juros é \delta=5\% ao ano, capitalizada continuamente. Precisamos calcular o valor presente líquido (VPL) de cada projeto usando fluxos contínuos e comparar qual tem VPL maior.

Passo 2

Para um fluxo contínuo de intensidade m recebido durante 0\le t\le T com taxa de desconto \delta, o valor presente é
\text{VP} \;=\;\int_{0}^{T} m\,e^{-\delta t}\,dt \;=\;m\,\frac{1 - e^{-\delta T}}{\delta}.

Passo 3

Projeto 1: m_{1}=10\,000, custo inicial C_{1}=40\,000.
\text{VP}_{1} =10\,000\;\frac{1 - e^{-0{,}05\cdot 3}}{0{,}05} =10\,000\;\frac{1 - e^{-0{,}15}}{0{,}05}.
Numericamente, e^{-0{,}15}\approx0{,}8607, logo
1 - e^{-0{,}15}\approx0{,}1393, \quad \text{VP}_{1}\approx10\,000\;\frac{0{,}1393}{0{,}05}\approx27\,858.
O VPL é
\text{VPL}_{1}=\text{VP}_{1}-C_{1}\approx27\,858 - 40\,000 = -12\,142.

Passo 4

Projeto 2: m_{2}=8\,000, custo inicial C_{2}=25\,000.
\text{VP}_{2} =8\,000\;\frac{1 - e^{-0{,}05\cdot 3}}{0{,}05} =8\,000\;\frac{1 - e^{-0{,}15}}{0{,}05} \approx8\,000\;\frac{0{,}1393}{0{,}05}\approx22\,286.
O VPL é
\text{VPL}_{2}=\text{VP}_{2}-C_{2}\approx22\,286 - 25\,000 = -2\,714.

Passo 5

Ambos os VPLs são negativos (ou seja, não recuperam totalmente o investimento), mas
\text{VPL}_{2}(-2\,714) > \text{VPL}_{1}(-12\,142),
logo o segundo plano (mais modesto) é o menos desfavorável.

Resposta

O segundo plano de reforma é mais vantajoso para os próximos três anos.

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