Deduza as fórmulas que dão as três medianas de um triângulo, em função dos lados e .
Passo 1
Resumindo, queremos achar expressões fechadas para as medianas de um triângulo de lados . O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema de Apollonius, que diz que a soma dos quadrados de dois lados equivale à metade do quadrado do terceiro lado acrescido de duas vezes o quadrado da mediana correspondente a esse terceiro lado. Uma forma elegante de chegar lá é usar geometria vetorial ou a Lei dos Cossenos no segmento que liga o vértice ao ponto médio do lado oposto.
Passo 2
Vamos derivar primeiro a fórmula de . Seja os vértices e o ponto médio de . Então
e seu módulo ao quadrado é
Passo 3
Reconhecemos que a^2 = b^2 + c^2 - 2,b,ccos A Longrightarrow cos A = b^2 + c^2 - a^22,b,c , ma^2 = b^2 + c^2 +2,b,ccdotb^2+c^2-a^22bc4 = b^2 + c^2 + (b^2 + c^2 - a^2)4 = 2b^2 + 2c^2 - a^24 e . Pela Lei dos Cossenos em temos
Substituindo em :
Passo 4
Portanto
ma = 12raiz2b^2 + 2c^2 - a^2
Passo 5
Pelo mesmo raciocínio, basta ciclar os índices de mb = 12raiz2a^2 + 2c^2 - b^2, mc = 12raiz2a^2 + 2b^2 - c^2 para obter