Deduza as fórmulas que dão as três medianas ma, mb, mc de um triângulo, em função dos lados a, b e c.

Passo 1

Resumindo, queremos achar expressões fechadas para as medianas ,ma,mb,mc de um triângulo de lados a,b,c. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema de Apollonius, que diz que a soma dos quadrados de dois lados equivale à metade do quadrado do terceiro lado acrescido de duas vezes o quadrado da mediana correspondente a esse terceiro lado. Uma forma elegante de chegar lá é usar geometria vetorial ou a Lei dos Cossenos no segmento que liga o vértice ao ponto médio do lado oposto.

Passo 2

Vamos derivar primeiro a fórmula de ma. Seja A,B,C os vértices e M o ponto médio de BC. Então
AM=AB+AC2
e seu módulo ao quadrado é
ma^2 = |AM|^2 = |AB+AC2|^2 = |AB|^2 +|AC|^2 +2,ABcdotAC4

Passo 3

Reconhecemos que |AB|=c, |AC|=b e ABcdotAC=b,ccos A. Pela Lei dos Cossenos em triang<= ABC temos
a^2 = b^2 + c^2 - 2,b,ccos A Longrightarrow cos A = b^2 + c^2 - a^22,b,c
Substituindo em ma^2:
ma^2 = b^2 + c^2 +2,b,ccdotb^2+c^2-a^22bc4 = b^2 + c^2 + (b^2 + c^2 - a^2)4 = 2b^2 + 2c^2 - a^24

Passo 4

Portanto
ma = 12raiz2b^2 + 2c^2 - a^2

Passo 5

Pelo mesmo raciocínio, basta ciclar os índices de (a,b,c) para obter
mb = 12raiz2a^2 + 2c^2 - b^2, mc = 12raiz2a^2 + 2b^2 - c^2

Resposta

ma = 12raiz2b^2 + 2c^2 - a^2, mb = 12raiz2a^2 + 2c^2 - b^2, mc = 12raiz2a^2 + 2b^2 - c^2

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