Os lados AB, AC e BC de um triângulo ABC medem, respectivamente, 5 cm , 6 cm e 7 cm . Determine a altura e a bissetriz interna relativa ao lado AC e a bissetriz externa relativa ao lado AB.

Passo 1

O triângulo ABC tem lados
AB = c = 5, BC = a = 7, AC = b = 6
Queremos
– a altura h relativa ao lado AC (isto é, a partir de B),
– a bissetriz interna de B (que incide em AC),
– e a bissetriz externa de C (que incide na reta de AB).

Passo 2

Calcular área via fórmula de Heron. Primeiro o semiperímetro
s = a + b + c2 = 7 + 6 + 52 = 9
A área é
De<a = raizs(s-a)(s-b)(s-c) = raiz9,(9-7),(9-6),(9-5) = raiz9cdot2cdot3cdot4 = 6raiz6

Passo 3

A altura h de B sobre AC vale
h = 2De<ab = 2cdot6raiz66 = 2raiz6

Passo 4

A bissetriz interna de B, de comprimento lB, usa a fórmula
lB = raizacl[1 - l(ba+cr)^2r],
com a=7, c=5, b=6. Então
lB = raiz7cdot5l[1 - l(tfrac67+5r)^2r] = raiz35l[1 - l(tfrac612r)^2r] = raiz35l(1 - 0,25r) = raiz35cdot0,75 = raiz1052

Passo 5

A bissetriz externa de C, de comprimento lC', usa
lC' = raizabl[l(ca-br)^2 - 1r],
com a=7, b=6, c=5. Como a - b = 1,
lC' = raiz7cdot6l[l(tfrac51r)^2 - 1r] = raiz42,(25 - 1) = raiz42cdot24 = raiz1008 = 12raiz7

Resposta

Altura relativa a AC: 2raiz6 cm
Bissetriz interna de B (sobre AC): dfracraiz1052 cm
Bissetriz externa de C (sobre AB): 12raiz7 cm

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