a) Defina o valor esperado de uma variável aleatória X.
b) Qual é o valor esperado da variável aleatória X que designa a um lançamento de dois dados o maior número dos dois?

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
(a) definir o valor esperado de uma variável aleatória X.
(b) calcular esse valor esperado quando X é o maior resultado em dois lançamentos de dado.
O conteúdo principal é probabilidade discreta e a fórmula de valor esperado.

Passo 2

Para uma variável aleatória discreta X que assume valores x_i com probabilidades P(X=x_i), o valor esperado é
E(X)=\sum_{i}x_i\,P(X=x_i).
Isso significa “média ponderada” dos valores possíveis de X.

Passo 3

No caso de dois dados, definimos X=\max\{D_1,D_2\}, que pode dar 1,2,\dots,6.
A probabilidade de \max\le k é a chance de ambos os dados serem \le k, ou seja (k/6)^2.
Logo a probabilidade de \max=k é
P(X=k)=P(X\le k)-P(X\le k-1) =\Bigl(\frac{k}{6}\Bigr)^2-\Bigl(\frac{k-1}{6}\Bigr)^2 =\frac{2k-1}{36}.

Passo 4

Aplicando a definição de E(X):
E(X) =\sum_{k=1}^{6}k\,P(X=k) =\sum_{k=1}^{6}k\frac{2k-1}{36} =\frac{1\cdot1+2\cdot3+3\cdot5+4\cdot7+5\cdot9+6\cdot11}{36} =\frac{161}{36}\approx4,4722.

Resposta

a) O valor esperado de uma variável aleatória discreta X é
E(X)=\sum_{i}x_i\,P(X=x_i).
b) Para X= maior número em dois lançamentos de dado,
E(X)=\frac{161}{36}\approx4,4722.

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