Dê uma definição recursiva da seqüência \left\{a_{n}\right\}, n=1,2,3, … se
a_{n}=6 n.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre uma definição recursiva para a sequência \{a_{n}\}, cujo termo geral é
a_{n}=6n,\quad n=1,2,3,\dots
O conteúdo aqui é reconhecer que essa é uma sequência aritmética de diferença constante e traduzir isso em duas partes: um caso inicial e uma relação de recorrência.

Passo 2

Precisamos do caso inicial, isto é, do valor de a_{1}. Basta substituir n=1 na fórmula explícita:
a_{1}=6\cdot1=6.

Passo 3

Agora encontramos a relação entre termos consecutivos. Como
a_{n+1}=6(n+1)=6n+6
e sabemos que a_{n}=6n, concluímos que
a_{n+1}=a_{n}+6.

Passo 4

Portanto, temos um sistema recursivo de primeira ordem típico de uma sequência aritmética: um valor inicial e uma “regra de passo” que adiciona sempre a mesma constante.

Resposta

\begin{cases} a_{1}=6,\\\ a_{n}=a_{n-1}+6,\quad n\ge2. \end{cases}

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