Encontre f(1), f(2), f(3) e f(4) se f(n) for definido recursivamente por f(0)=1 e para n=0,1,2, \ldots
f(n+1)=f(n)^{2}+f(n)+1.

Passo 1

O enunciado define a sequência \{f(n)\} por
f(0)=1
e, para n=0,1,2,\dots,
f(n+1)=f(n)^{2}+f(n)+1.
Pede-se os valores de f(1), f(2), f(3) e f(4). Vamos aplicar a relação de recorrência passo a passo, calculando cada termo a partir do anterior.

Passo 2

Para n=0 temos \displaystyle f(1)=f(0)^{2}+f(0)+1=1^{2}+1+1=3.

Passo 3

Para n=1 usamos o valor obtido de f(1): \displaystyle f(2)=f(1)^{2}+f(1)+1=3^{2}+3+1=9+3+1=13.

Passo 4

Para n=2 substituímos f(2)=13: \displaystyle f(3)=13^{2}+13+1=169+13+1=183.

Passo 5

Para n=3 substituímos f(3)=183: \displaystyle f(4)=183^{2}+183+1=33489+183+1=33673.

Resposta

f(1)=3 f(2)=13 f(3)=183 f(4)=33673

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