Dê uma definição recursiva da seqüência \left\{a_{n}\right\}, n=1,2,3, … se
a_{n}=2 n+1.

Passo 1

O enunciado dá a sequência explícita
a_{n}=2n+1
para n=1,2,3,\dots e pede uma definição recursiva, ou seja, um valor inicial e uma relação que expresse a_{n} em função de termos anteriores.

Passo 2

Determinar o termo inicial. Para n=1:
a_{1}=2\cdot1+1=3.

Passo 3

Observar como a sequência cresce de um termo para o seguinte. Calcule a diferença
a_{n}-a_{n-1}=(2n+1)-\bigl[2(n-1)+1\bigr]=2n+1-2n+2-1=2.
Isso mostra que, a cada passo, a sequência aumenta em 2.

Passo 4

Escrever a relação de recorrência. Como o incremento é constante, para n\ge2 temos
a_{n}=a_{n-1}+2.

Resposta

a_{1}=3
para n\ge2, a_{n}=a_{n-1}+2.

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