Como definimos e calculamos o comprimento de um segmento de uma curva lisa no espaço? Dê um exemplo. Quais premissas matemáticas estão envolvidas nessa definição?
Passo 1
O enunciado pergunta como a gente define e calcula o comprimento de arco de um segmento de curva lisa no espaço. Isso faz parte de cálculo avançado (integrais de linha / arc-length) e vamos usar a ideia de aproximar a curva por pedaços reto e levar ao limite.
Passo 2
Seja uma curva parametrizada por \mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3, com componentes \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)). Dizemos que a curva é lisa se \mathbf{r} for de classe C^1 em [a,b] (isto é, derivável e com derivada contínua). O comprimento S do segmento de curva de t=a até t=b é dado por
S = \int_{a}^{b} \bigl\|\mathbf{r}\,'(t)\bigr\|\,\mathrm{d}t,
onde \mathbf{r}\,'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) e \bigl\|\mathbf{r}\,'(t)\bigr\| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}.
Intuitivamente, dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos finitos, aproximamos cada pedaço de curva por o segmento de reta que vai de \mathbf{r}(t_{i-1}) a \mathbf{r}(t_i), somamos os comprimentos \|\mathbf{r}(t_i)-\mathbf{r}(t_{i-1})\| e, ao levar n\to\infty, isso converge à integral acima. A derivada aparece porque, em subintervalos muito pequenos, \|\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)\|\approx\|\mathbf{r}\,'(t)\|\Delta t.
Passo 3
Exemplo clássico: a hélice circular de raio a e passo b, parametrizada por
\mathbf{r} deve ser de classe C^1 (derivada contínua) em [a,b], garantindo que \mathbf{r}\,'(t) existe e é contínua.
A norma \|\cdot\| em \mathbb{R}^3 está bem definida e satisfaz propriedades métricas.
A função t\mapsto\|\mathbf{r}\,'(t)\| é contínua em [a,b], logo Riemann-integrável.
Resposta
Definimos o comprimento de arco de uma curva lisa \mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3 como
S = \int_{a}^{b}\|\mathbf{r}\,'(t)\|\,\mathrm{d}t.
No exemplo da hélice \mathbf{r}(t)=(a\cos t,a\sin t,b\,t), t\in[0,2\pi], obtivemos
S = 2\pi\,\sqrt{a^2+b^2}.
As premissas são que \mathbf{r} seja C^1, que a norma em \mathbb{R}^3 satisfaça as propriedades de métrica e que \|\mathbf{r}\,'(t)\| seja Riemann-integrável.
Cálculo - Thomas - Vol 2 - 11ª Edição - Capítulo 13.Questões de Revisão - Ex. 5