Como definimos e calculamos o comprimento de um segmento de uma curva lisa no espaço? Dê um exemplo. Quais premissas matemáticas estão envolvidas nessa definição?

Passo 1

O enunciado pergunta como a gente define e calcula o comprimento de arco de um segmento de curva lisa no espaço. Isso faz parte de cálculo avançado (integrais de linha / arc-length) e vamos usar a ideia de aproximar a curva por pedaços reto e levar ao limite.

Passo 2

Seja uma curva parametrizada por \mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3, com componentes \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)). Dizemos que a curva é lisa se \mathbf{r} for de classe C^1 em [a,b] (isto é, derivável e com derivada contínua). O comprimento S do segmento de curva de t=a até t=b é dado por
S = \int_{a}^{b} \bigl\|\mathbf{r}\,'(t)\bigr\|\,\mathrm{d}t,
onde \mathbf{r}\,'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) e
\bigl\|\mathbf{r}\,'(t)\bigr\| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}.
Intuitivamente, dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos finitos, aproximamos cada pedaço de curva por o segmento de reta que vai de \mathbf{r}(t_{i-1}) a \mathbf{r}(t_i), somamos os comprimentos \|\mathbf{r}(t_i)-\mathbf{r}(t_{i-1})\| e, ao levar n\to\infty, isso converge à integral acima. A derivada aparece porque, em subintervalos muito pequenos, \|\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)\|\approx\|\mathbf{r}\,'(t)\|\Delta t.

Passo 3

Exemplo clássico: a hélice circular de raio a e passo b, parametrizada por
\mathbf{r}(t)=\bigl(a\cos t,\;a\sin t,\;b\,t\bigr), \quad t\in[0,2\pi].
Calculamos
\mathbf{r}\,'(t)=(-a\sin t,\;a\cos t,\;b), \qquad \bigl\|\mathbf{r}\,'(t)\bigr\| =\sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2+b^2} =\sqrt{a^2 + b^2}.
Como isso é constante, o comprimento de t=0 a t=2\pi é
S=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{a^2+b^2}\,\mathrm{d}t =2\pi\,\sqrt{a^2+b^2}.
As premissas matemáticas para essa definição são:
  1. \mathbf{r} deve ser de classe C^1 (derivada contínua) em [a,b], garantindo que \mathbf{r}\,'(t) existe e é contínua.
  2. A norma \|\cdot\| em \mathbb{R}^3 está bem definida e satisfaz propriedades métricas.
  3. A função t\mapsto\|\mathbf{r}\,'(t)\| é contínua em [a,b], logo Riemann-integrável.

Resposta

Definimos o comprimento de arco de uma curva lisa \mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3 como
S = \int_{a}^{b}\|\mathbf{r}\,'(t)\|\,\mathrm{d}t.
No exemplo da hélice \mathbf{r}(t)=(a\cos t,a\sin t,b\,t), t\in[0,2\pi], obtivemos
S = 2\pi\,\sqrt{a^2+b^2}.
As premissas são que \mathbf{r} seja C^1, que a norma em \mathbb{R}^3 satisfaça as propriedades de métrica e que \|\mathbf{r}\,'(t)\| seja Riemann-integrável.

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