Demonstrar as desigualdades seguintes:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
,
O que vamos usar é cálculo de derivadas e o fato de que uma função com derivada positiva em um intervalo é crescente nesse intervalo.
Passo 2
Definimos a função
Note que em
temos
Passo 3
Calculamos a derivada de
. Como
e
, segue
Passo 4
Para ver que
quando
, usamos a desigualdade clássica
Como
, multiplicando
por
obtemos
Logo
para todo
.
Passo 5
Como
em
, a função
é estritamente crescente nesse intervalo. Tendo
, concluímos que para
vale
Resposta
Para todo
temos