Demonstrar as desigualdades seguintes:
e^x>1+log (1+x), x>0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo x>0,
e^x > 1 + log(1+x)
O que vamos usar é cálculo de derivadas e o fato de que uma função com derivada positiva em um intervalo é crescente nesse intervalo.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = e^x - log(1+x) - 1
Note que em x=0 temos
f(0) = e^0 - log(1+0) - 1 = 1 - 0 - 1 = 0

Passo 3

Calculamos a derivada de f. Como ddxe^x=e^x e ddxlog(1+x)=tfrac11+x, segue
f'(x) = e^x - 11+x

Passo 4

Para ver que f'(x)>0 quando x>0, usamos a desigualdade clássica
e^x > 1 para x>0
Como 1+x>1, multiplicando e^x>1 por 1+x>0 obtemos
e^x(1+x) > 1+x > 1 Longrightarrow e^x > 11+x
Logo f'(x)=e^x-tfrac11+x>0 para todo x>0.

Passo 5

Como f'(x)>0 em (0,infty), a função f é estritamente crescente nesse intervalo. Tendo f(0)=0, concluímos que para x>0 vale
f(x)>f(0)=0 Longrightarrow e^x - log(1+x) - 1 > 0 Longrightarrow e^x > 1 + log(1+x)

Resposta

Para todo x>0 temos
e^x > 1 + log(1+x)

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