Determinar a equação das curvas cujas normais têm um comprimento constante k. (O “comprimento” da normal é a extensão do segmento compreendido entre a curva c o eixo dos x.)

Passo 1

O enunciado pede as curvas y=y(x) tais que o comprimento da normal, medido entre o ponto (x,y) e o ponto onde essa normal corta o eixo x, seja uma constante k. Vamos usar geometria analítica para achar o ponto de interseção da normal com o eixo x, depois calcular a distância desse ponto até (x,y) e impor que seja igual a k. Isso gera uma equação diferencial que resolveremos por separação de variáveis.

Passo 2

Em (x,y) a derivada é y'= dydx. A reta normal tem coeficiente angular
mrm normal = -1y'
Sua equação é
Y - y = -1y',(X - x)
Para encontrar o ponto de interseção com o eixo x fazemos Y=0. Assim
0 - y = -1y' ,(X0 - x) Longrightarrow X0 - x = y,y' Longrightarrow X0 = x + y,y'

Passo 3

O comprimento da normal é a distância entre (x,y) e (X0,0). Logo
comprimento = raiz(X0 - x)^2 + (0 - y)^2 = raizl(y,y'r)^2 + y^2 = |y|raiz1 + (y')^2
Impondo que isso seja a constante k (e tomando y>0 para fixar sinal), temos
yraiz1 + (y')^2 = k

Passo 4

Elevando ao quadrado e isolando y', obtemos
1 + (y')^2 = k^2y^2 Longrightarrow (y')^2 = k^2y^2 - 1 = k^2 - y^2y^2
Assim
y' = dydx = pm raizk^2 - y^2y
Escolhendo o sinal + (o caso - é análogo), separamos variáveis:
yraizk^2 - y^2,dy = dx

Passo 5

Fazendo a substituição u = k^2 - y^2, então du = -2y,dy, temos
integral yraizk^2 - y^2,dy = -12 integral u^-tfrac12,du = -raizu + C = -raizk^2 - y^2 + C
Logo
x = -raizk^2 - y^2 + C1 Longrightarrow raizk^2 - y^2 = C1 - x

Passo 6

Elevando ao quadrado,
k^2 - y^2 = (C1 - x)^2 Longrightarrow y^2 + (x - C1)^2 = k^2
Isso mostra que as curvas são círculos de raio k com centros l(C1,0r).

Resposta

As soluções são a família de círculos
(x - a)^2 + y^2 = k^2,
onde a é uma constante real.

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