Determinar a equação das curvas cujas normais têm um comprimento constante
. (O “comprimento” da normal é a extensão do segmento compreendido entre a curva c o eixo dos
.)
Passo 1
O enunciado pede as curvas
tais que o comprimento da normal, medido entre o ponto
e o ponto onde essa normal corta o eixo
, seja uma constante
. Vamos usar geometria analítica para achar o ponto de interseção da normal com o eixo
, depois calcular a distância desse ponto até
e impor que seja igual a
. Isso gera uma equação diferencial que resolveremos por separação de variáveis.
Passo 2
Em
a derivada é
. A reta normal tem coeficiente angular
Sua equação é
Para encontrar o ponto de interseção com o eixo
fazemos
. Assim
Passo 3
O comprimento da normal é a distância entre
e
. Logo
Impondo que isso seja a constante
(e tomando
para fixar sinal), temos
Passo 4
Elevando ao quadrado e isolando
, obtemos
Assim
Escolhendo o sinal
(o caso
é análogo), separamos variáveis:
Passo 5
Fazendo a substituição
, então
, temos
Logo
Passo 6
Elevando ao quadrado,
Isso mostra que as curvas são círculos de raio
com centros
.
Resposta
As soluções são a família de círculos
onde
é uma constante real.