Determinar as funções racionais representadas pelas seguintes séries de Taylor:
x+x^2-x^3-x^4+x^5+x^6--++ldots.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de Taylor
x + x^2 - x^3 - x^4 + x^5 + x^6 - x^7 - x^8 + cdots
e pede para encontrar a função racional que ela representa. O conteúdo que vamos usar é o de séries geométricas e geração de séries com coeficientes periódicos.

Passo 2

Observe que os coeficientes formam um bloco de período 4, seguindo o padrão (+1,+1,-1,-1). Podemos agrupar em blocos de quatro termos:
sumk=0^inftyl(x^4k+1+x^4k+2-x^4k+3-x^4k+4r)

Passo 3

Fatorando x^4k em cada bloco, temos
sumk=0^inftyx^4k,(x + x^2 - x^3 - x^4) =(x + x^2 - x^3 - x^4)sumk=0^infty(x^4)^k
Como sumk=0^infty(x^4)^k = 11-x^4, chega-se a
f(x)=x + x^2 - x^3 - x^41-x^4

Passo 4

Agora simplificamos a expressão. Note que
x + x^2 - x^3 - x^4 = x,(1 + x - x^2 - x^3) = x,(1+x)^2,(1-x),
e
1 - x^4 = (1-x)(1+x)(1+x^2)
Cancelando o fator (1-x) e um (1+x), obtemos
f(x)=x,(1+x)1+x^2

Resposta

f(x)=x,(1+x)1+x^2

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