Demonstrar que
lim x 0 raiz1+x-1x=12

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limx to 0 raiz1+x-1x
Este é um problema de limites envolvendo uma forma indeterminada tfrac00. Vamos usar a técnica de racionalização do numerador, que consiste em multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de raiz1+x-1.

Passo 2

Verificamos a substituição direta para identificar a indeterminação:
raiz1+0-10=1-10=00,
ou seja, temos uma forma indeterminada tfrac00, então não podemos apenas substituir. Precisamos manipular algebricamente a expressão.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado raiz1+x+1:
raiz1+x-1x;cdot;raiz1+x+1raiz1+x+1 =(raiz1+x-1)(raiz1+x+1)x,(raiz1+x+1)

Passo 4

No numerador, usamos a diferença de quadrados:
(raiz1+x-1)(raiz1+x+1) =(1+x)-1 =x
Logo a fração fica
xx,(raiz1+x+1) =1raiz1+x+1

Passo 5

Agora calculamos o limite da forma simplificada:
limxto01raiz1+x+1 =1raiz1+0+1 =11+1 =12

Resposta

12

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