Demonstrar os limites seguintes com a ajuda da fórmula de Stirling e ou a desigualdade de Wallis
lim n infty n(n!)^1 / n=e.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limntoinftyn(n!)^1/n=e
O conteúdo que vamos usar é a fórmula assintótica de Stirling para n!, que diz que n! cresce como raiz2pi n,(n/e)^n. A partir daí vamos extrair (n!)^1/n e calcular o limite desejado.

Passo 2

A fórmula de Stirling afirma que, quando ntoinfty,
n! sim raiz2pi n,l(ner)^n
isto é,
limntoinftyn!raiz2pi n,(n/e)^n=1.

Passo 3

Elevando ambos os lados à potência 1/n, obtemos
(n!)^1/nsiml(raiz2pi nr)^1/n,ne
Note que
limntoinfty(raiz2pi n)^1/n = 1,
pois lnl(raiz2pi nr)/(n)to0.

Passo 4

Agora formamos o quociente pedido:
n(n!)^1/n sim nl(raiz2pi nr)^1/n,ne = e;l(raiz2pi nr)^-1/n
Como já vimos que limntoinfty(raiz2pi n)^-1/n=1, fica claro que toda essa expressão tende a e.

Resposta

limntoinftyn(n!)^1/n = e

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