Demonstre que para todo, n in N, 30 n+7 e 21 n+5 são primos entre si.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo ninN, os números 30n+7 e 21n+5 são primos entre si, ou seja, que
gcd(30n+7,;21n+5)=1
O conteúdo que vamos usar é o Algoritmo de Euclides para o cálculo de máximo divisor comum.

Passo 2

Aplicamos o Algoritmo de Euclides iniciando por
gcd(30n+7,;21n+5) =gcdl((30n+7)-(21n+5),;21n+5r) =gcd(9n+2,;21n+5)

Passo 3

Continuamos o Algoritmo em
gcd(21n+5,;9n+2) =gcdl((21n+5)-2,(9n+2),;9n+2r) =gcd(3n+1,;9n+2)

Passo 4

Mais um passo do Algoritmo:
gcd(9n+2,;3n+1) =gcdl((9n+2)-3,(3n+1),;3n+1r) =gcd(-1,;3n+1)
Como gcd(-1,;3n+1)=1, concluímos que não há outro divisor comum além de 1.

Resposta

Portanto, gcd(30n+7,;21n+5)=1 para todo ninN, ou seja, 30n+7 e 21n+5 são primos entre si.

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