Prove que para todos os inteiros positivos n, 1^n+8^n-3^n-6^n é divisível por 10 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo n,
1^n + 8^n - 3^n - 6^n
é divisível por 10.
O conteúdo que vamos usar é aritmética modular: primeiro vamos verificar que essa expressão é zero módulo 2 e depois que é zero módulo 5. A partir daí, pelo Teorema Chinês dos Resíduos, concluímos a divisibilidade por 10.

Passo 2

Verificação módulo 2:
Como 1 e 3 são ímpares e 8 e 6 são pares, temos
1^n equiv 1 pmod2, 8^n equiv 0 pmod2, 3^n equiv 1 pmod2, 6^n equiv 0 pmod2
Logo
1^n + 8^n - 3^n - 6^n equiv 1 + 0 - 1 - 0 equiv 0 pmod2
Portanto, a expressão é par.

Passo 3

Verificação módulo 5:
Reduzindo as bases módulo 5, temos
1 equiv 1, 8 equiv 3, 3 equiv 3, 6 equiv 1 pmod5
Então
1^n + 8^n - 3^n - 6^n equiv 1^n + 3^n - 3^n - 1^n equiv 0 pmod5
Logo a expressão também é múltipla de 5.

Passo 4

Como mostramos que
1^n + 8^n - 3^n - 6^n equiv 0 pmod2 e 1^n + 8^n - 3^n - 6^n equiv 0 pmod5,
pelo Teorema Chinês dos Resíduos concluímos que
1^n + 8^n - 3^n - 6^n equiv 0 pmod10
Isto é, a expressão é divisível por 10 para todo inteiro positivo n.

Resposta

Para todo inteiro positivo n,
10 mid l(1^n + 8^n - 3^n - 6^nr)

Exercícios de Livros Relacionados