Demonstrar as seguintes propriedades dos coeficientes binomiais:
para
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade entre coeficientes binomiais
para
.
O conteúdo envolve argumentos combinatórios e a definição factorial
.
O conteúdo envolve argumentos combinatórios e a definição factorial
Passo 2
Prova combinatória: considere um conjunto
com
elementos e escolha um elemento distinguido
.
Para formar um subconjunto de tamanho de
, ou
Para formar um subconjunto de tamanho
- Você inclui
. Então escolhe os outros elementos entre os restantes, o que dá
possibilidades. - Você não inclui
. Então escolhe todos os elementos entre os restantes, o que dá
possibilidades.
Como essas duas situações são disjuntas e cobrem todas as escolhas deelementos, o total é
mas também é simplesmente o número de formas de escolher
de
, ou seja
.
Passo 3
Prova algébrica usando fatoriais:
Colocando sobre o mesmo denominador
, temos