Demonstrar as seguintes propriedades dos coeficientes binomiais:
binomnk-1+binomnk=binomn+1k( para k>0.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade entre coeficientes binomiais
binomnk-1 + binomnk = binomn+1k para k>0.
O conteúdo envolve argumentos combinatórios e a definição factorial
binomnr = n!r!,(n-r)!.

Passo 2

Prova combinatória: considere um conjunto X com n+1 elementos e escolha um elemento distinguido xin X.
Para formar um subconjunto de tamanho k de X, ou
  1. Você inclui x. Então escolhe os outros k-1 elementos entre os n restantes, o que dá
    binomnk-1 possibilidades.
  2. Você não inclui x. Então escolhe todos os k elementos entre os n restantes, o que dá
    binomnk possibilidades.
    Como essas duas situações são disjuntas e cobrem todas as escolhas de k elementos, o total é
binomnk-1 + binomnk
mas também é simplesmente o número de formas de escolher k de n+1, ou seja binomn+1k.

Passo 3

Prova algébrica usando fatoriais:
binomnk-1 + binomnk = n!(k-1)!,(n-k+1)! ;+; n!k!,(n-k)!
Colocando sobre o mesmo denominador k!,(n-k+1)!, temos
n!,kk!,(n-k+1)! ;+; n!,(n-k+1)k!,(n-k+1)! = n!,l(k + (n-k+1)r)k!,(n-k+1)! = (n+1),n!k!,(n+1-k)! = (n+1)!k!,(n+1-k)! = binomn+1k

Resposta

binomnk-1 + binomnk = binomn+1k

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