Demonstrar que o têrmo de uma progressão aritmética de segunda ordem pode ser escrito sob a forma , onde e são independentes de .
.* Demonstrar que o têrmo de uma progressão aritmética de ordem pode ser escrito sob a forma , pode são independentes de .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma sequência satisfaz
então existe uma expressão
com independentes de . Aqui é o operador de diferença finita definido por . Em seguida generalizaremos para a ordem , ou seja, constante implica
Passo 2
Primeiro caso: segunda ordem. Seja
com constante. Então a primeira diferença satisfaz
o que significa que é uma progressão aritmética de razão . Logo
Como é linear em , escrevemos , onde e .
Passo 3
Agora recuperamos somando as diferenças:
Separando soma de termos lineares e constantes,
Substituindo e obtemos
Bastará expandir e agrupar termos em , e constante para chegar a
Passo 4
Generalização por indução em k. Suponha que De<a^k an = Dk constante. Então De<a^k-1an é uma PA de razão Dk, logo é polinomial em n de grau 1. Aplicando o mesmo raciocínio sucessivamente a cada iteração de soma de diferenças (isto é, “integrando” De<ak vezes), o grau do polinômio em n aumenta de 1 a cada passo, terminando em grau k. Logo
an = a,n^k + b,n^k-1 + cdots + p,n + q,
com coeficientes independentes de n.
Resposta
Mostrou-se que, se De<a^2 an é constante, então
an = a,n^2 + b,n + c
com a,b,c fixos, e mais geralmente, se De<a^k an é constante, então
an = a,n^k + b,n^k-1 + dots + p,n + q
Cálculo - Richard Courant - Cálculo 1 - 1ª Edição - Capítulo 1.4 - Ex. 6