Demonstrar que o têrmo n de uma progressão aritmética de segunda ordem pode ser escrito sob a forma a n^2+b n+c, onde a, b e c são independentes de n.
.* Demonstrar que o têrmo n de uma progressão aritmética de ordem k pode ser escrito sob a forma a n^k+b n^k-1+ldots+p n+q, pode a, b, ldots, p, q são independentes de n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma sequência (an) satisfaz
De<a^2 an = constante,
então existe uma expressão
an = a,n^2 + b,n + c
com a,b,c independentes de n. Aqui De<a é o operador de diferença finita definido por De<a an = an+1-an. Em seguida generalizaremos para a ordem k, ou seja, De<a^k an= constante implica
an = a,n^k + b,n^k-1 + cdots + p,n + q

Passo 2

Primeiro caso: segunda ordem. Seja
De<a^2 an = D,
com D constante. Então a primeira diferença De<a an satisfaz
De<a(De<a an)=D,
o que significa que De<a an é uma progressão aritmética de razão D. Logo
De<a an = De<a a1 + (n-1),D
Como De<a an é linear em n, escrevemos De<a an = alpha,n + beta, onde alpha=D e beta=De<a a1 - D.

Passo 3

Agora recuperamos an somando as diferenças:
an = a1 + sumi=1^n-1 De<a ai = a1 + sumi=1^n-1 l(alpha,i + betar)
Separando soma de termos lineares e constantes,
sumi=1^n-1 (alpha,i + beta) = alpha sumi=1^n-1 i ;+;beta,(n-1) = alpha,(n-1)n2 ;+;beta,(n-1)
Substituindo alpha=D e beta=De<a a1 - D obtemos
an = a1 + D,n(n-1)2 + (De<a a1 - D),(n-1)
Bastará expandir e agrupar termos em n^2, n e constante para chegar a
an = underbraceD2a,n^2 + underbracel(De<a a1 - tfrac3D2r)b,n + underbracel(a1 -De<a a1 + Dr)c

Passo 4

Generalização por indução em k. Suponha que De<a^k an = Dk constante. Então De<a^k-1an é uma PA de razão Dk, logo é polinomial em n de grau 1. Aplicando o mesmo raciocínio sucessivamente a cada iteração de soma de diferenças (isto é, “integrando” De<a k vezes), o grau do polinômio em n aumenta de 1 a cada passo, terminando em grau k. Logo
an = a,n^k + b,n^k-1 + cdots + p,n + q,
com coeficientes independentes de n.

Resposta

Mostrou-se que, se De<a^2 an é constante, então
an = a,n^2 + b,n + c
com a,b,c fixos, e mais geralmente, se De<a^k an é constante, então
an = a,n^k + b,n^k-1 + dots + p,n + q

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