Demonstre que as bissetrizes de dois ângulos adjacentes e complementares formam um ângulo de 45^circ.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas retas concorrentes em A que formam dois ângulos adjacentes cujas medidas somam 90^circ, as bissetrizes desses ângulos fazem entre si um ângulo de 45^circ.
Conteúdo: geometria de ângulos, definição de ângulo complementar e de bissetriz de um ângulo.

Passo 2

Seja AB e AD as semirretas que formam os dois ângulos em A. Denotemos
ang<= BAD = alpha
e
ang<= DAE = 90^circ - alpha,
de modo que
ang<= BAD + ang<= DAE = alpha + (90^circ - alpha) = 90^circ
Seja AC a bissetriz de ang<= BAD e AF a bissetriz de ang<= DAE.

Passo 3

Pela definição de bissetriz temos
ang<= BAC = ang<= CAD = alpha2 e ang<= DAF = ang<= FAE = 90^circ - alpha2

Passo 4

Como AC está entre AB e AF, o ângulo formado pelas bissetrizes AC e AF vale
ang<= CAF = ang<= CAD + ang<= DAF = alpha2 ;+;90^circ - alpha2 = alpha + 90^circ - alpha2 = 45^circ

Resposta

As bissetrizes formam um ângulo de 45^circ.

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