- Demonstre que as bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são semirretas opostas.
Passo 1
O enunciado trata de duas retas
e
que se cortam no ponto
, gerando dois ângulos opostos pelo vértice, digamos
e
. Precisamos mostrar que as bissetrizes desses dois ângulos são semirretas que formam juntas uma reta, mas apontando em sentidos opostos (isto é, semirretas opostas). Para isso vamos usar a definição de bissetriz como o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados do ângulo, e a colinearidade dos vértices de ângulos opostos.
Passo 2
Como
e
são opostos pelo vértice, sabemos que
Isto significa que a reta
contém simultaneamente os pontos
e
, e a reta
contém
e
.
Passo 3
Definição de bissetriz:
– A bissetriz de é a semirreta
tal que qualquer ponto
em
satisfaz
– A bissetriz de
– A bissetriz de
é a semirreta
tal que qualquer ponto
em
satisfaz
Passo 4
Como
e
são a mesma reta (linha
), e
e
são a mesma reta (linha
), fica claro que
Ou seja, as duas bissetrizes pertencem à mesma reta
(o lugar geométrico dos pontos equidistantes de
e
).
Passo 5
Por fim, a semirreta
olha para o interior de
, enquanto
olha para o interior de
, que é o setor oposto na reta
. Logo
e
estão sobre a mesma reta, mas em sentidos contrários, isto é, são semirretas opostas.
Resposta
As bissetrizes de
e de
coincidem como reta, porém, como cada uma aponta para o interior de ângulos opostos, formam semirretas opostas.