1. Demonstre que as bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são semirretas opostas.

Passo 1

O enunciado trata de duas retas a e b que se cortam no ponto O, gerando dois ângulos opostos pelo vértice, digamos ang<= AÔBÔ e ang<= CÔDÔ. Precisamos mostrar que as bissetrizes desses dois ângulos são semirretas que formam juntas uma reta, mas apontando em sentidos opostos (isto é, semirretas opostas). Para isso vamos usar a definição de bissetriz como o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados do ângulo, e a colinearidade dos vértices de ângulos opostos.

Passo 2

Como ang<= AÔBÔ e ang<= CÔDÔ são opostos pelo vértice, sabemos que
A,,O,,C são colineares (linha a) e B,,O,,D são colineares (linha b) ãã
Isto significa que a reta a contém simultaneamente os pontos A e C, e a reta b contém B e D.

Passo 3

Definição de bissetriz:
– A bissetriz de ang<= AÔBÔ é a semirreta OE tal que qualquer ponto P em OE satisfaz
dist(P,,OA)=dist(P,,OB)
– A bissetriz de ang<= CÔDÔ é a semirreta OF tal que qualquer ponto Q em OF satisfaz
dist(Q,,OC)=dist(Q,,OD)

Passo 4

Como OA e OC são a mesma reta (linha a), e OB e OD são a mesma reta (linha b), fica claro que
Pmiddist(P,,OA)=dist(P,,OB) = Qmiddist(Q,,OC)=dist(Q,,OD)
Ou seja, as duas bissetrizes pertencem à mesma reta l (o lugar geométrico dos pontos equidistantes de a e b).

Passo 5

Por fim, a semirreta OE olha para o interior de ang<= AÔBÔ, enquanto OF olha para o interior de ang<= CÔDÔ, que é o setor oposto na reta l. Logo OE e OF estão sobre a mesma reta, mas em sentidos contrários, isto é, são semirretas opostas.

Resposta

As bissetrizes de ang<= AÔBÔ e de ang<= CÔDÔ coincidem como reta, porém, como cada uma aponta para o interior de ângulos opostos, formam semirretas opostas.

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