49 Demonstre que cada lado de um polígono regular com
lados cujos vértices são
pontos igualmente espaçados na circunferência unitária tem comprimento
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num polígono regular de
lados inscrito na circunferência de raio 1, cada lado tem comprimento
O conteúdo envolvido é geometria de polígonos regulares e aplicação da lei dos cossenos em triângulo isósceles.
Passo 2
Escolhemos dois vértices consecutivos
e
do polígono e o centro
da circunferência. Então o triângulo
é isósceles, com
e o ângulo central
Passo 3
Aplicamos a lei dos cossenos no triângulo
para relacionar o lado
(que é um lado do polígono) ao ângulo central:
Como
e
, temos
Passo 4
Basta extrair a raiz quadrada em ambos os lados para obter o comprimento do lado do polígono: