49 Demonstre que cada lado de um polígono regular com n lados cujos vértices são n pontos igualmente espaçados na circunferência unitária tem comprimento
\sqrt{2-2 \cos \frac{2 \pi}{n}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num polígono regular de n lados inscrito na circunferência de raio 1, cada lado tem comprimento
\sqrt{2 - 2 \cos\frac{2\pi}{n}}.
O conteúdo envolvido é geometria de polígonos regulares e aplicação da lei dos cossenos em triângulo isósceles.

Passo 2

Escolhemos dois vértices consecutivos A e B do polígono e o centro O da circunferência. Então o triângulo \triangle OAB é isósceles, com
OA = OB = 1
e o ângulo central
\angle AOB = \frac{2\pi}{n}.

Passo 3

Aplicamos a lei dos cossenos no triângulo \triangle OAB para relacionar o lado AB (que é um lado do polígono) ao ângulo central:
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2\,(OA)(OB)\,\cos\angle AOB.
Como OA=OB=1 e \angle AOB = \tfrac{2\pi}{n}, temos
AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2\cdot1\cdot1\cdot\cos\frac{2\pi}{n} = 2 - 2\cos\frac{2\pi}{n}.

Passo 4

Basta extrair a raiz quadrada em ambos os lados para obter o comprimento do lado do polígono:
AB = \sqrt{2 - 2\cos\frac{2\pi}{n}}.

Resposta

\sqrt{2 - 2 \cos \frac{2 \pi}{n}}

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