Demonstre que, num determinante de uma matriz simétrica, os complementos algébricos de dois elementos situados simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.

Passo 1

Temos uma matriz A=(aij) de ordem n que é simétrica, ou seja,
aij=aji para todo i,j
O objetivo é mostrar que, para quaisquer índices ineq j, os complementos algébricos
Cij e Cji
são iguais. Para isso, vamos usar a definição de complemento algébrico e o fato de que o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.

Passo 2

Lembremos a definição de complemento algébrico. O complemento algébrico de aij é
Cij=(-1)^i+j,Mij,
onde Mij (o menor de ordem n-1) é o determinante da submatriz que se obtém de A eliminando-se a linha i e a coluna j. Analogamente,
Cji=(-1)^j+i,Mji,
onde Mji é o determinante da matriz que resulta de A ao eliminar linha j e coluna i.

Passo 3

Observe que a submatriz usada em Mij e aquela usada em Mji estão relacionadas por transposição. Mais precisamente, se chamarmos
Aij = matriz de ordem (n-1) obtida de (A) sem linha (i) nem coluna (j),
então, pela simetria de A, cada elemento de Aij coincide com o correspondente de (Aji)^T. Logo,
Aij = (Aji)^T

Passo 4

Usamos duas propriedades fundamentais:
  1. Para qualquer matriz quadrada B, vale det(B^T)=det(B)
  2. O fator de sinal em Cij satisfaz (-1)^i+j=(-1)^j+i
Portanto,
Mij =det(Aij) =detl((Aji)^Tr) =det(Aji) =Mji,
e
Cij =(-1)^i+jMij =(-1)^j+iMji =Cji

Resposta

Em uma matriz simétrica A, vale sempre
Cij=Cji para todo i,j

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