Demonstre que, num determinante de uma matriz simétrica, os complementos algébricos de dois elementos situados simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.
Passo 1
Temos uma matriz
de ordem
que é simétrica, ou seja,
O objetivo é mostrar que, para quaisquer índices
, os complementos algébricos
são iguais. Para isso, vamos usar a definição de complemento algébrico e o fato de que o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.
Passo 2
Lembremos a definição de complemento algébrico. O complemento algébrico de
é
onde
(o menor de ordem
) é o determinante da submatriz que se obtém de
eliminando-se a linha
e a coluna
. Analogamente,
onde
é o determinante da matriz que resulta de
ao eliminar linha
e coluna
.
Passo 3
Observe que a submatriz usada em
e aquela usada em
estão relacionadas por transposição. Mais precisamente, se chamarmos
então, pela simetria de
, cada elemento de
coincide com o correspondente de
. Logo,
Passo 4
Usamos duas propriedades fundamentais:
- Para qualquer matriz quadrada
, vale - O fator de sinal em
satisfaz
Portanto,
e
Resposta
Em uma matriz simétrica
, vale sempre