Demonstre que:
|lllla & a & a & a a & b & b & b a & b & c & c a & b & c & d|=a(b-a)(c-b)(d-c)

Passo 1

O enunciado nos dá o determinante
D=| a & a & a & a a & b & b & b a & b & c & c a & b & c & d |
e pede para mostrar que
D = a,(b - a),(c - b),(d - c)
O conteúdo envolvido são operações elementares em determinantes (linearidade em linhas, expansão e fatoração).

Passo 2

Aplicamos para k=2,3,4 a operação de linha
Lk Lk - L1,
que não altera o valor de D. Isso leva à matriz
a & a & a & a 0 & b-a & b-a & b-a 0 & b-a & c-a & c-a 0 & b-a & c-a & d-a
Agora, expandindo D pela primeira coluna, só o elemento a da primeira linha contribui:
D = a ;cdot;det b - a & b - a & b - a b - a & c - a & c - a b - a & c - a & d - a
Chamemos essa matriz de N.

Passo 3

Para calcular det N, fazemos operações em linhas que preservam o determinante:
  1. L3 L3 - L2 usando as linhas originais de N.
  2. L2 L2 - L1.
    Após isso, N fica triangular superior:
b - a & b - a & b - a 0 & c - b & c - b 0 & 0 & d - c

Passo 4

Num determinante triangular, o valor é o produto dos elementos da diagonal. Logo
det N = (b - a),(c - b),(d - c)
Portanto
D = a ;det N = a,(b - a),(c - b),(d - c)

Resposta

a,(b - a),(c - b),(d - c)

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