24.8 Demonstre as identidades de meio-ângulo.
Comece com as fórmulas de ângulo duplo para cosseno e isole cos ^2 theta e sen^2 theta. Então,
2 cos ^2 theta-1 & =cos 2 theta 2 cos ^2 theta & =1+cos 2 theta cos ^2 theta & =1+cos 2 theta2
1-2 sen^2 theta & =cos 2 theta -2 sen^2 theta & =cos 2 theta-1 2 sen^2 theta & =1-cos 2 theta sen^2 theta & =1-cos 2 theta2

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar as identidades de meio-ângulo a partir das fórmulas de ângulo duplo para o cosseno. O conteúdo aqui é trigonometria elementar: vamos usar
  1. as fórmulas de ângulo duplo para cos2theta,
  2. manipulações algébricas para isolar cos^2theta e sen^2theta,
  3. a substituição thetamapstotheta2,
  4. e, por fim, extração de raiz quadrada (com atencão ao sinal).

Passo 2

Partimos de
cos2theta = 2cos^2theta - 1
Somando 1 em ambos os lados e dividindo por 2, obtemos
2cos^2theta = 1 + cos2theta Longrightarrow cos^2theta = 1 + cos2theta2

Passo 3

Partimos de
cos2theta = 1 - 2sen^2theta
Subtraindo 1 e dividindo por -2, obtemos
-2sen^2theta = cos2theta - 1 Longrightarrow 2sen^2theta = 1 - cos2theta Longrightarrow sen^2theta = 1 - cos2theta2

Passo 4

Agora fazemos a troca de variável thetatotheta2. Assim, nas fórmulas de cos^2theta e sen^2theta temos:
cos^2!l(tfractheta2r) = 1 + costheta2, sen^2!l(tfractheta2r) = 1 - costheta2

Passo 5

Para chegar às identidades de meio-ângulo, bastar tomar raiz quadrada em cada expressão, lembrando que o sinal pm depende do quadrante onde tfractheta2 está:
costheta2 = pmraiz1 + costheta2, sentheta2 = pmraiz1 - costheta2

Resposta

costheta2 = pmraiz1 + costheta2, sentheta2 = pmraiz1 - costheta2

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