24.8 Demonstre as identidades de meio-ângulo.
Comece com as fórmulas de ângulo duplo para cosseno e isole
e
. Então,
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar as identidades de meio-ângulo a partir das fórmulas de ângulo duplo para o cosseno. O conteúdo aqui é trigonometria elementar: vamos usar
- as fórmulas de ângulo duplo para
, - manipulações algébricas para isolar
e , - a substituição
, - e, por fim, extração de raiz quadrada (com atencão ao sinal).
Passo 2
Partimos de
Somando
em ambos os lados e dividindo por
, obtemos
Passo 3
Partimos de
Subtraindo
e dividindo por
, obtemos
Passo 4
Agora fazemos a troca de variável
. Assim, nas fórmulas de
e
temos:
Passo 5
Para chegar às identidades de meio-ângulo, bastar tomar raiz quadrada em cada expressão, lembrando que o sinal
depende do quadrante onde
está: