Demonstre a relação de Euler.
binomm+np=binomm0binomnp+binomm1binomnp-1+binomm2binomnp-2+ldots+binommpbinomn0
Sugestão: (1+x)^m+n=(1+x)^m cdot(1+x)^n; desenvolva cada membro e identifique os coeficientes dos termos semelhantes.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade de Vandermonde
binomm+np = binomm0binomnp +binomm1binomnp-1 +cdots +binommpbinomn0,
usando a expansão do binômio. O conteúdo da matéria é o Teorema do Binômio e a ideia é comparar coeficientes em duas formas de escrever (1+x)^m+n.

Passo 2

Pelo Teorema do Binômio, a expansão de (1+x)^m+n é
(1+x)^m+n = sumk=0^m+nbinomm+nkx^k

Passo 3

Também pelo Teorema do Binômio, temos
(1+x)^m = sumi=0^mbinommix^i e (1+x)^n = sumj=0^nbinomnjx^j
Multiplicando,
(1+x)^m,(1+x)^n = l(sumi=0^mbinommix^ir) l(sumj=0^nbinomnjx^jr) = sumi=0^msumj=0^nbinommibinomnj,x^,i+j

Passo 4

Na soma dupla acima, defina k=i+j. Para cada k fixo entre 0 e m+n, todos os pares (i,j) que somam k contribuem para o coeficiente de x^k. Logo
(1+x)^m(1+x)^n = sumk=0^m+nl(sumi=0^kbinommibinomnk-ir)x^k

Passo 5

Como (1+x)^m+n=(1+x)^m(1+x)^n, os coeficientes de x^k em cada expansão devem ser iguais. Para k=p obtemos
binomm+np = sumi=0^pbinommibinomnp-i,
que é exatamente
binomm+np = binomm0binomnp +binomm1binomnp-1 +cdots +binommpbinomn0

Resposta

binomm+np = binomm0binomnp +binomm1binomnp-1 +cdots +binommpbinomn0

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