Resolva a equação binom12p+3=binom12p-1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
binom12,p+3, ;=;binom12,p-1,
usando propriedades de coeficientes binomiais.

Passo 2

Para que binom12k esteja bem definido, é necessário que k seja inteiro e 0 <= k <= 12.
Aqui temos as duas condições:
0 <= p+3 <= 12 e 0 <= p-1 <= 12
Isso implica
-3 <= p <= 9 e 1 <= p <= 13,
logo, considerando p inteiro,
1 <= p <= 9

Passo 3

Usamos a identidade de simetria dos binomiais:
binomnk = binomnn-k
Logo, para n=12 e k1=p+3,;k2=p-1, a igualdade
binom12k1=binom12k2 ocorre se, e somente se,
ou k1 = k2, ou k1 = 12 - k2.

Passo 4

Analisando os dois casos:
  1. p+3 = p-1
    Isso daria 3 = -1, impossível.
  2. p+3 = 12 - (p-1)
    p + 3 = 12 - p + 1 Longrightarrow p + 3 = 13 - p Longrightarrow 2p = 10 Longrightarrow p = 5

Passo 5

Verificamos se p=5 está no domínio 1 <= p <= 9. Como está, concluímos que é a única solução inteira.

Resposta

p = 5

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