Demonstre que: para que a^3-b^3 seja múltiplo de 3 é necessário e suficiente que a-b seja múltiplo de 3 .

Passo 1

O enunciado nos pede para demonstrar que, para quaisquer inteiros a e b, temos:
a^3 - b^3 é múltiplo de 3 se, e somente se, a - b é múltiplo de 3.”
O conteúdo aqui é divisibilidade em Z e aritmética modular, usando fatoração de diferenças de cubos.

Passo 2

Fatoramos a diferença de cubos:
a^3 - b^3 = (a - b),(a^2 + ab + b^2)
Dessa expressão segue imediatamente a direção ;a-b múltiplo de 3 implies a^3-b^3 múltiplo de 3, pois um dos fatores já contém a-b.

Passo 3

Para mostrar a direção inversa, suponha que 3mid (a^3 - b^3). Então
3 mid (a - b),(a^2 + ab + b^2)
Logo, 3 divide a-b ou divide a^2+ab+b^2. Se 3nmid (a-b), então anotequiv bpmod3, de modo que aequiv b+1 ou aequiv b+2pmod3. Em qualquer um desses casos, escrevendo a=b+k com kin1,2, temos
a^2 + ab + b^2 = (b+k)^2 + b(b+k) + b^2 = 3b^2 + 3kb + k^2 equiv k^2 pmod3
Mas k^2equiv1pmod3 para k=1,2, logo a^2+ab+b^2notequiv0pmod3. Isso impede 3mid(a^2+ab+b^2), restando apenas 3mid(a-b).

Passo 4

Juntando os dois sentidos da implicação, concluímos que
3mid(a^3 - b^3) Long<=ftrightarrow 3mid(a - b)

Resposta

Fica demonstrado que a^3 - b^3 é múltiplo de 3 se, e somente se, a - b é múltiplo de 3.

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