Demonstre que: para que
seja múltiplo de 3 é necessário e suficiente que
seja múltiplo de 3 .
Passo 1
O enunciado nos pede para demonstrar que, para quaisquer inteiros
e
, temos:
“ é múltiplo de
se, e somente se,
é múltiplo de
.”
O conteúdo aqui é divisibilidade em e aritmética modular, usando fatoração de diferenças de cubos.
“
O conteúdo aqui é divisibilidade em
Passo 2
Fatoramos a diferença de cubos:
Dessa expressão segue imediatamente a direção
múltiplo de
múltiplo de
, pois um dos fatores já contém
.
Passo 3
Para mostrar a direção inversa, suponha que
. Então
Logo,
divide
ou divide
. Se
, então
, de modo que
ou
. Em qualquer um desses casos, escrevendo
com
, temos
Mas
para
, logo
. Isso impede
, restando apenas
.
Passo 4
Juntando os dois sentidos da implicação, concluímos que
Resposta
Fica demonstrado que
é múltiplo de
se, e somente se,
é múltiplo de
.