Mostre que, para todo inteiro a:
o algarismo das unidades de
é
ou 6 .
o algarismo das unidades de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o algarismo das unidades de
é sempre um dos valores 0, 1, 5 ou 6. O que importa para o algarismo das unidades é o valor de
módulo 10, ou seja, basta estudar
Passo 2
Note que
depende apenas de
. Logo, basta analisar os possíveis resíduos de
em
. Uma forma sistemática é separar em dois grandes casos:
e
.
Passo 3
Caso
, temos que 10 e
são primos entre si. Pelo Teorema de Euler,
onde
. Assim
e o algarismo das unidades de
é 1.
Passo 4
Caso
, então
é divisível por 2 ou por 5 (ou por ambos).
(i) Se , então
ou
.
(i) Se
- Se
, então . - Se
, então
logo o algarismo das unidades é 5.
Passo 5
(ii) Se
Em seguida
Logo, para . O algarismo das unidades é 6.
Passo 6
Reunindo todos os casos, concluímos que, para qualquer inteiro
, o algarismo das unidades de
só pode ser
Resposta
Mostramos que o algarismo das unidades de
é sempre 0, 1, 5 ou 6.