Mostre que, para todo inteiro a:
o algarismo das unidades de a^4 é 0,1,5 ou 6 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o algarismo das unidades de a^4 é sempre um dos valores 0, 1, 5 ou 6. O que importa para o algarismo das unidades é o valor de a^4 módulo 10, ou seja, basta estudar
a^4 bmod 10

Passo 2

Note que a^4 bmod 10 depende apenas de abmod 10. Logo, basta analisar os possíveis resíduos de a em 0,1,2,dots,9. Uma forma sistemática é separar em dois grandes casos: gcd(a,10)=1 e gcd(a,10)neq1.

Passo 3

Caso gcd(a,10)=1, temos que 10 e a são primos entre si. Pelo Teorema de Euler,
a^varphi(10) equiv 1 pmod10,
onde varphi(10)=4. Assim
a^4 equiv 1 pmod10,
e o algarismo das unidades de a^4 é 1.

Passo 4

Caso gcd(a,10)neq1, então a é divisível por 2 ou por 5 (ou por ambos).
(i) Se 5mid a, então aequiv0 ou 5pmod10.
  • Se aequiv0pmod10, então a^4equiv0pmod10.
  • Se aequiv5pmod10, então
5^4 = 625 equiv 5 pmod10,
logo o algarismo das unidades é 5.

Passo 5

(ii) Se
Em seguida
é
Logo, para . O algarismo das unidades é 6.

Passo 6

Reunindo todos os casos, concluímos que, para qualquer inteiro a, o algarismo das unidades de a^4 só pode ser
0,;1,;5;ou;6

Resposta

Mostramos que o algarismo das unidades de a^4 é sempre 0, 1, 5 ou 6.

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