Se p e 2 p+1 são primos ímpares e n=4 p, mostre que varphi(n+2)= =varphi(n)+2.

Passo 1

O enunciado dá que p e 2p+1 são primos ímpares e define n=4p. Vamos usar a função totiente varphi, que é multiplicativa em inteiros coprimos, e as fórmulas
varphi(p)=p-1 para primo p e varphi(p^k)=p^k-1(p-1) para potência de primo.

Passo 2

Calculemos varphi(n). Como gcd(4,p)=1, temos
varphi(n)=varphi(4p)=varphi(4),varphi(p)
Além disso varphi(4)=2 e varphi(p)=p-1, logo
varphi(n)=2,(p-1)=2p-2

Passo 3

Agora calculemos varphi(n+2). Note que
n+2=4p+2=2,(2p+1),
onde 2 e 2p+1 são primos distintos. Logo, pela multiplicatividade,
varphi(n+2)=varphi(2),varphi(2p+1) =1,(2p+1-1) =2p

Passo 4

Comparando os resultados,
varphi(n+2)-varphi(n) =2p-(2p-2) =2,
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varphi(n+2)=varphi(n)+2

Resposta

varphi(n+2)=varphi(n)+2

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