*16. Demonstre o Teorema 3.
17. Demonstre a identidade abaixo relacionada aos números de Fibonacci e aos coeficientes binomiais:
em que
é um número inteiro positivo e
. [Dica: Considere
. Mostre que a seqüência
satisfaz a mesma relação de recorrência e as condições iniciais da seqüência dos números de Fibonacci.]
17. Demonstre a identidade abaixo relacionada aos números de Fibonacci e aos coeficientes binomiais:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade
onde
é inteiro positivo,
e
são os números de Fibonacci. O método sugerido é mostrar que a soma dos binomiais satisfaz a mesma recorrência de Fibonacci e as mesmas condições iniciais.
Passo 2
Defina
Verifiquemos as condições iniciais da sequência
:
Para tem-se
e
Para
Para
também
e
Passo 3
Mostremos que
satisfaz a recorrência de Fibonacci para
. Pela identidade de Pascal,
Logo
Separando as somas,
e, fazendo
na segunda soma,
Portanto
Passo 4
Temos que
e
satisfazem a mesma relação de recorrência
e coincidem nas condições iniciais
. Pelo princípio da indução, segue que