Determine quais das relações abaixo são relações de recorrência lineares e homogêneas com coeficientes constantes. Encontre também seus respectivos graus.
a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}+n+3

Passo 1

O enunciado dá a relação de recorrência \r
a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2} + n + 3 \r
e pede para verificar se ela é linear, homogênea e de coeficientes constantes, além de identificar seu grau (ordem).

Passo 2

Uma recorrência é dita linear de coeficientes constantes se cada termo a_n aparece numa combinação linear de termos anteriores com coeficientes que não dependem de n. Aqui temos \r
a_{n} = 1\cdot a_{n-1} + 1\cdot a_{n-2} + (n + 3). \r
Os coeficientes diante de a_{n-1} e a_{n-2} são constantes 1 e 1, logo é de fato uma recorrência linear de coeficientes constantes.

Passo 3

Para ser homogênea, a recorrência não pode ter termo extra dependente de n (nem constante). Como aparece n + 3 no lado direito, há um termo independente das a_k. Portanto não é homogênea.

Passo 4

O grau (ou ordem) de uma recorrência é igual ao maior “atraso” de índice que aparece entre os termos a_{n-k}. Aqui os termos envolvidos são a_{n-1} e a_{n-2}, e o maior atraso é 2. Logo é de ordem (grau) 2.

Resposta

A relação é uma recorrência linear de coeficientes constantes, mas não é homogênea. Seu grau (ordem) é 2.

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