Resolva as relações de recorrência abaixo com as condições iniciais dadas.
a_{n}=a_{n-2} / 4 \operatorname{para} n \geq 2, a_{0}=1, a_{1}=0

Passo 1

O enunciado apresenta a recorrência de segunda ordem
a_{n} = \frac{a_{n-2}}{4},\quad n\ge2,
com condições iniciais a_{0}=1 e a_{1}=0.
O tema aqui é resolver recorrências lineares com defasagem de dois, separando os termos de índice par e de índice ímpar e encontrando suas fórmulas fechadas.

Passo 2

Definimos duas subsequências para tratar os termos pares e ímpares separadamente.
Para k\ge0, seja
b_{k} = a_{2k},
e
c_{k} = a_{2k+1}.

Passo 3

A subsequência b_{k} satisfaz
b_{k} = a_{2k} = \frac{a_{2(k-1)}}{4} = \frac{b_{k-1}}{4},
com a condição inicial b_{0}=a_{0}=1. Logo, é uma recorrência de primeira ordem cuja solução é
b_{k} = \frac{1}{4^{k}}.

Passo 4

A subsequência c_{k} satisfaz
c_{k} = a_{2k+1} = \frac{a_{2k-1}}{4} = \frac{c_{k-1}}{4},
com c_{0}=a_{1}=0. A partir disso, todos os c_{k} são nulos:
c_{k}=0\quad\forall k\ge0.

Passo 5

Voltemos a a_{n}. Se n é par, n=2k e
a_{n}=a_{2k}=b_{k}=\frac{1}{4^{k}}=\frac{1}{4^{\,n/2}}.
Se n é ímpar, n=2k+1 e
a_{n}=a_{2k+1}=c_{k}=0.

Resposta

Para todo n\ge0:
a_{n} = \begin{cases} \dfrac{1}{4^{\,n/2}}, & n\text{ par},\\[6pt] 0, & n\text{ ímpar}. \end{cases}í]

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