Encontre a solução para a_{n}=2 a_{n-1}+5 a_{n-2}-6 a_{n-3}, com a_{0}=7, a_{1}=-4 e a_{2}=8.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência definida pela recorrência linear de ordem 3
a_{n} = 2\,a_{n-1} + 5\,a_{n-2} - 6\,a_{n-3},
com condições iniciais a_{0}=7, a_{1}=-4 e a_{2}=8.
O conteúdo é resolução de recorrências lineares com coeficientes constantes, e vamos precisar (1) montar a equação característica, (2) achar suas raízes, (3) escrever a solução geral e (4) determinar as constantes pelos valores iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica trocando a_{n-k} por r^{n-k} e igualando a zero:
r^{3} - 2\,r^{2} - 5\,r + 6 = 0.
Testando raízes inteiras vemos que r=1 é solução pois
1 - 2 - 5 + 6 = 0.
Fazendo a divisão polinomial por (r-1), sobra
r^{2} - r - 6 = 0,
cuja solução é
r = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}
portanto as outras raízes são r=3 e r=-2.

Passo 3

Como as raízes são distintas 1,3,-2, a solução geral é
a_{n} = A\cdot1^{n} + B\cdot3^{n} + C\cdot(-2)^{n} \quad\Longrightarrow\quad a_{n} = A + B\,3^{n} + C\,(-2)^{n}.

Passo 4

Usamos as condições iniciais para achar A,B,C\). Para \(n=0\): \[A + B + C = 7.
Para n=1:
A + 3B - 2C = -4.
Para n=2:
A + 9B + 4C = 8.
Subtraindo a primeira equação das duas últimas, obtemos o sistema
\begin{cases} 2B - 3C = -11,\\\\ 8B + 3C = 1. \end{cases}
Somando essas duas linhas dá 10B = -10\], logo \(B = -1.
Substituindo em 8B + 3C = 1 vem 3C = 9, então C = 3.
Finalmente A = 7 - B - C = 7 - (-1) - 3 = 5.

Resposta

\boxed{a_{n} = 5 \;-\; 3^{n} \;+\; 3\,(-2)^{n}.}

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