Demonstre a terceira forma da fórmula do meio-ângulo para tangentes.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a terceira forma da fórmula do meio-ângulo para tangente, ou seja, provar que
tanx2 = 1 - cos xsin x
O conteúdo envolve identidades trigonométricas de ângulo duplo e a definição de tangente em termos de seno e cosseno.

Passo 2

Vamos lembrar duas fórmulas de ângulo duplo fundamentais:
sin x = 2sinx2,cosx2,
cos x = 1 - 2sin^2x2
Da segunda obtemos
sin^2x2 = 1 - cos x2

Passo 3

Partimos da definição
tanx2 = sinx2cosx2
Para aparecer sin^2x2 no numerador, multiplicamos numerador e denominador por sinx2:
tanx2 = sinx2cosx2 cdot sinx2sinx2 = sin^2x2sinx2,cosx2

Passo 4

Agora substituímos sin^2x2 = tfrac1-cos x2 e sin x = 2sinx2cosx2:
tanx2 = 1-cos x2sin x2 = 1 - cos xsin x
Note que o fator tfrac12 do numerador cancela com o tfrac12 do denominador, deixando exatamente tfrac1-cos xsin x.

Resposta

tanx2 = 1 - cos xsin x

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