Em um parque de diversões pode-se entrar a todos os jogos com os mesmos vales. Cada jogo custa uma certa quantidade de vales, segundo seu preço. Existem jogos de R$0,90, de R$1,50 e de 2,10$. Qual é o preço de um vale, se a quantidade de vales que são usados é a menor possível?

Passo 1

O enunciado diz que há três preços de brinquedo: R$0,90, R$1,50 e R$2,10. Todos os vales têm o mesmo valor unitário, e o número de vales usados em cada brinquedo é o preço do brinquedo dividido pelo valor do vale. Para que esse número seja inteiro em todos os casos e seja o menor possível, queremos que o valor do vale seja o maior divisor comum (MDC) desses três preços.

Passo 2

Primeiro convertemos tudo para centavos:
R$0,90 = 90 centavos,
R$1,50 = 150 centavos,
R$2,10 = 210 centavos.
Logo, buscamos mdc(90,150,210).

Passo 3

Calculamos mdc(90,150). Decompomos em fatores primos:
90 = 2 times 3^2 times 5, 150 = 2 times 3 times 5^2
Os fatores comuns mínimos são 2, 3 e 5, logo
mdc(90,150) = 2 times 3 times 5 = 30

Passo 4

Agora calculamos mdc(30,210). Decompomos 210:
210 = 2 times 3 times 5 times 7
Comparando com 30 = 2 times 3 times 5, o MDC é
mdc(30,210) = 2 times 3 times 5 = 30

Passo 5

Portanto, o maior valor do vale que divide igualmente todos os preços é 30 centavos, ou seja R$0,30. Com esse valor, os números de vales são
9030=3, 15030=5, 21030=7,
todos inteiros e mínimos.

Resposta

O preço de cada vale é R$0,30.

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