A densidade de probabilidade associada com a distribuição normal da estatística é dada por
f(x)=\frac{1}{\sigma(2 \pi)^{1 / 2}} \exp \left[-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right]
com a faixa de (-\infty, \infty). Mostre que
o valor médio de x,\langle x\rangle é igual a \mu.

Passo 1

O enunciado fornece a densidade normal
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\!\Bigl[-\tfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Bigr]
com x\in(-\infty,\infty) e pede o valor médio \langle x\rangle. Aqui vamos usar o conceito de esperança de uma variável contínua e a simetria da gaussiana.

Passo 2

O valor esperado é definido por
\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Fazemos a troca de variável
t = x - \mu,\quad x = t + \mu,\quad dx = dt,
mantendo os limites de -\infty a \infty. A densidade em t fica
f_t(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\Bigl(-\tfrac{t^2}{2\sigma^2}\Bigr).

Passo 3

Substituindo na integral de \langle x\rangle:
\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} (t+\mu)\,f_t(t)\,dt = \int_{-\infty}^{\infty} t\,f_t(t)\,dt \;+\;\mu\!\int_{-\infty}^{\infty} f_t(t)\,dt.

Passo 4

Como t\,f_t(t) é função ímpar em um intervalo simétrico,
\int_{-\infty}^{\infty} t\,f_t(t)\,dt = 0,
e f_t é densidade normalizada,
\int_{-\infty}^{\infty} f_t(t)\,dt = 1.
Logo
\langle x \rangle = 0 + \mu\cdot1 = \mu.

Resposta

\langle x \rangle = \mu

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