A densidade de probabilidade associada com a distribuição normal da estatística é dada por
f(x)=1sigma(2 pi)^1 / 2 exp [-(x-mu)^22 sigma^2]
com a faixa de (-infty, infty). Mostre que
o valor médio de x,lang<= xrang<= é igual a mu.

Passo 1

O enunciado fornece a densidade normal
f(x) = 1sigma raiz2pi exp!l[-tfrac(x-mu)^22sigma^2r]
com xin(-infty,infty) e pede o valor médio lang<= xrang<=. Aqui vamos usar o conceito de esperança de uma variável contínua e a simetria da gaussiana.

Passo 2

O valor esperado é definido por
lang<= x rang<= = integral-infty^infty x,f(x),dx
Fazemos a troca de variável
t = x - mu, x = t + mu, dx = dt,
mantendo os limites de -infty a infty. A densidade em t fica
ft(t) = 1sigmaraiz2pi exp!l(-tfract^22sigma^2r)

Passo 3

Substituindo na integral de lang<= xrang<=:
lang<= x rang<= = integral-infty^infty (t+mu),ft(t),dt = integral-infty^infty t,ft(t),dt ;+;mu!integral-infty^infty ft(t),dt

Passo 4

Como t,ft(t) é função ímpar em um intervalo simétrico,
integral-infty^infty t,ft(t),dt = 0,
e ft é densidade normalizada,
integral-infty^infty ft(t),dt = 1
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lang<= x rang<= = 0 + mucdot1 = mu

Resposta

lang<= x rang<= = mu

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