8.1.12 (a) Desenvolva relações de recorrência para (
)!! e para (
)!!.
(b) Use essas relações de recorrência para calcular (ou definir) 0!! e
!!.
Resposta:
.
(b) Use essas relações de recorrência para calcular (ou definir) 0!! e
Passo 1
O enunciado trata do fatorial duplo, definido por
Precisamos (a) encontrar relações de recorrência que expressem
e
em função de valores anteriores, e (b) usar essas relações para definir os valores de
e
.
Passo 2
Para o caso par, basta notar que para todo
o último fator de
antes de chegar a zero é
. Logo,
De modo análogo, para todo
o fatorial duplo ímpar satisfaz
Passo 3
Agora usamos essas recursões em casos mínimos para “descer” até os valores que queremos:
- Para
na relação par: Sabemos que , então - Para
na relação ímpar: Como , obtemos