8.1.12 (a) Desenvolva relações de recorrência para ( 2 n )!! e para ( 2 n+1 )!!.
(b) Use essas relações de recorrência para calcular (ou definir) 0!! e (-1) !!.
Resposta: 0!!=1, (-1)!!=1.

Passo 1

O enunciado trata do fatorial duplo, definido por
(2n)!! = 2n times (2n-2)timescdotstimes2, (2n+1)!! = (2n+1)times(2n-1)timescdotstimes1
Precisamos (a) encontrar relações de recorrência que expressem (2n)!! e (2n+1)!! em função de valores anteriores, e (b) usar essas relações para definir os valores de 0!! e (-1)!!.

Passo 2

Para o caso par, basta notar que para todo n>=1 o último fator de (2n)!! antes de chegar a zero é (2n-2)!!. Logo,
(2n)!! = (2n),l((2n-2)!!r)
De modo análogo, para todo n>=0 o fatorial duplo ímpar satisfaz
(2n+1)!! = (2n+1),l((2n-1)!!r)

Passo 3

Agora usamos essas recursões em casos mínimos para “descer” até os valores que queremos:
  • Para n=1 na relação par: (2cdot1)!! = 2!! = 2 times 0!! Sabemos que 2!!=2, então 2 = 2 times 0!!Longrightarrow 0!! = 1
  • Para n=0 na relação ímpar: (2cdot0+1)!! = 1!! = 1 times (-1)!! Como 1!!=1, obtemos 1 = 1 times (-1)!!Longrightarrow (-1)!! = 1

Resposta

0!! = 1,(-1)!! = 1

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