8.1.12 (a) Desenvolva relações de recorrência para ( 2 n )!! e para ( 2 n+1 )!!.
(b) Use essas relações de recorrência para calcular (ou definir) 0!! e (-1) !!.
Resposta: 0!!=1, \quad(-1)!!=1.

Passo 1

O enunciado trata do fatorial duplo, definido por
(2n)!! = 2n \times (2n-2)\times\cdots\times2, \qquad (2n+1)!! = (2n+1)\times(2n-1)\times\cdots\times1.
Precisamos (a) encontrar relações de recorrência que expressem (2n)!! e (2n+1)!! em função de valores anteriores, e (b) usar essas relações para definir os valores de 0!! e (-1)!!.

Passo 2

Para o caso par, basta notar que para todo n\ge1 o último fator de (2n)!! antes de chegar a zero é (2n-2)!!. Logo,
(2n)!! = (2n)\,\bigl((2n-2)!!\bigr).
De modo análogo, para todo n\ge0 o fatorial duplo ímpar satisfaz
(2n+1)!! = (2n+1)\,\bigl((2n-1)!!\bigr).

Passo 3

Agora usamos essas recursões em casos mínimos para “descer” até os valores que queremos:
  • Para n=1 na relação par: (2\cdot1)!! = 2!! = 2 \times 0!!.Sabemos que 2!!=2, então 2 = 2 \times 0!!\quad\Longrightarrow\quad 0!! = 1.
  • Para n=0 na relação ímpar: (2\cdot0+1)!! = 1!! = 1 \times (-1)!!.Como 1!!=1, obtemos 1 = 1 \times (-1)!!\quad\Longrightarrow\quad (-1)!! = 1.

Resposta

0!! = 1,\quad(-1)!! = 1.

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